Suites (4 semaines)
-- Définitions générales, suites majorées, minorées, monotones. Suites arithmétiques et géométriques. Suites définies par récurrence.
-- Suites convergentes dans R: définition (en termes d’intervalles de R et en termes d’inégalités avec ε). Opérations sur les suites convergentes, liens avec les suites majorées ou minorées, borne supérieure. Passage à la limite dans une égalité et une inégalité, encadrements, suites adjacentes.
--Suites tendant vers ±∝ : définition (en termes d’intervalles et en termes d’inégalités), opérations sur les suites tendant vers ±∝ , liens avec les suites non majorées ou non minorées, une suite croissante non majorée tend vers +∝ .
-- Suites extraites, valeur d’adhérence. Théorème de Bolzano-Weierstrass.
Fonctions d’une variable réelle (8 semaines)
-- Limites, continuité. Fonctions tendant vers une limite l dans R (ou C) en ±∝ , en un point adhérent à leur intervalle de définition. Fonctions tendant vers ±∝ , en un point adhérent à leur intervalle de définition. Unicité de la limite. Opérations sur ces fonctions. Traduction en termes de suites. Fonctions continues en un point de leur intervalle de définition. Caractérisation en termes de suites. Fonctions continues sur leur intervalle de définition.
-- Théorème des valeurs intermédiaires. Image d’un segment par une fonction continue. Fonctions continues strictement monotones sur leur intervalle de définition, bijection réciproque. Fonctions équivalentes au voisinage d’un point. Exemples d’études de suites du type un+1= f(un).
-- Dérivabilité. Définition, opérations sur la dérivée (somme, produit, quotient, composition). Lien avec la continuité. Fonctions dérivables sur leur intervalle de définition. Dérivée de la réciproque d’une bijection dérivable. Théorème de Rolle, théorème et inégalité des accroissements finis. Fonction de classe C1. Dérivées d’ordre supérieur, fonction de classe C', de classe C∝ . Règle de Leibniz. Développements limités. Définition, propriétés élémentaires, somme, produit, quotient, com- position, primitive. Formule de Taylor-Young. Développements limités des fonctions usuelles. Application à des exemples d’études de limites et de branches infinies. Applications à l’étude locale d’une fonction (extrema, position relative de deux courbes).
