L'unité d'enseignement ENSMI4U1
« Fonctions de plusieurs variables »
Contenus :
Topologie de Rn, fonctions continues Contenu: Normes sur Rn. Définition, propriétés, exemples. Suites convergentes dans Rn (on fixera une norme). Parties ouvertes et fermées de Rn (on fixera une norme). Caractérisation des fermés par des suites. Adhérence, intérieur, frontière d'une partie. Fonction (d'un ouvert de Rn dans Rm) continue en un point, définition, caractérisation par les suites. Fonction continue sur une partie de Rn. Lien avec la continuité des fonctions partielles. Equivalence des normes sur Rn. Continuité uniforme. Théorème de Heine.
Dérivées partielles et différentielle -
Dérivées partielles d'une fonction définie sur un ouvert de Rn, fonctions de classe C1. Gradient, divergence, rotationnel. Matrice jacobienne. La différentielle comme application linéaire qur R^N. Dérivées partielles d'une fonction composée. Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C1 sur un ouvert convexe. Dérivées partielles d'ordre supérieur. Théorème de Schwarz. Formule de Taylor-Young. Recherche d'extrema de fonctions (notamment dans le cas d'une fonction sur un ouvert de R2 ).
