Intégrale d'une fonction sur un segment
Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment. Propriétés (linéarité, Chasles, positivité...)
Notion de fonction intégrable, (la borne supérieure des intégrales des fonctions en escalier qui la minorent est égale à la borne inférieure des intégrales des fonctions en escalier qui la majorent), définition de l'intégrale. Propriétés (linéarité, Chasles, positivité...).
Sommes de Riemann.
Inégalité de Cauchy-Schwarz et de Minkowski, cas d’égalité.
Intégrale fonction de sa borne supérieure. Intégrale et primitive, théorème fondamental du calcul intégral.
Méthodes de calcul approché d'une intégrale (rectangles, trapèzes, Simpson...).
Exemples de calculs d'intégrales multiples, on présentera les changements de variables classiques..
Définition d'une intégrale généralisée convergente ou divergente. Propriétés élémentaires.
Intégrales absolument convergentes. Cas des fonctions positives, critères de comparaison. Fonctions de références.
Exemples d'intégrales semi-convergentes. Utilisation de l'intégration par parties pour les étudier. Ces points seront abordés en TD.
Changement de variables dans les intégrales impropres.
Comparaison entre la convergence des intégrales impropres et des séries (en lien avec Analyse 2).
Intégrale et suites de fonctions
Théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée (on admettra ces théorèmes et on s'attachera à leur utilisation).
Intégrale et suite de fonctions: comportement vis-à-vis de la convergence uniforme, théorème de convergence dominée (en supposant la limite intégrable). Interversion des séries et intégrales.
Séries de Fourier
Définition des coefficients de Fourier d'une fonction périodique et continue par morceaux. Lemme de Riemann-Lebesgue. Théorème de convergence ponctuelle et uniforme de Dirichlet, théorème de Parseval (en lien avec Analyse 2).
