L'unité d'enseignement ENSMI4U3-N
« Géométrie et arithmétique 2 (Géométrie et groupes) »
Contenus :
Introduction aux groupes. (6 semaines).
Groupe, sous--groupe, homomorphisme, groupe cyclique, groupe quotient, théorème de Lagrange.
Arithmétique : Divisibilité, division Euclidienne, Bezout, théorème chinois, congruences et relations d'équivalence et le groupe Z/nZ (partition, quotient)
Enoncé du théorème de classification de groupes abéliens finis. RSA
Le groupe symétrique $S_n$, action, orbites, permutations, Décomposition en cycles disjoints et en transpositions- Signature
Géométrie euclidienne et groupes des matrices (6 semaines).
Espaces vectoriels euclidiens - Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski, norme euclidienne, distance à partir d'une norme.
Orthogonalité, projection orthogonale ; bases orthonormales ; orthonormalisation de Schmidt, interprétation matricielle ; décomposition QR d'une matrice
Les groupes orthogonaux, isométries
Adjoint d'un endomorphisme. Réduction d'un endomorphisme symétrique.
