L'unité d'enseignement ENSMI5U1
« Intégration et Transformée de Fourier  »

On présentera l'intégrale de Lebesgue en se limitant à Rn. L'objectif de ce cours est de savoir utiliser les théorèmes classiques de cette théorie (théorèmes de convergence, Fubini) et d'introduire la transformée de Fourier.

On donnera une présentation rapide (2h) des notions suivantes: tribu dans Rn, tribu engendrée, tribu borélienne, mesure de Lebesgue dans Rn (on donnera ses propriétés sans détailler sa construction), tribu de Lebesgue, ensembles négligeables, propriété vraie presque partout. Fonctions mesurables, étagées. Intégrale d'une fonction étagée positive, d'une fonction mesurable positive, propriétés. Fonctions intégrables à valeurs dans C. Intégrale d'une fonction intégrable, propriétés. Théorèmes de convergence (convergence monotone, convergence dominée, lemme de Fatou). Application à la continuité et la dérivabilité de t→∫f(x,t)dm(x). Inégalités de Hölder, de Minkowski, de Jensen, espaces Lp, propriétés (complétude). Théorèmes de Tonelli et de Fubini. Changement de variable dans Rn. Cas particulier des coordonnées polaires et sphériques. Convolution. Transformée de Fourier dans L1(Rn). Propriétés élémentaires, formule d'inversion de Fourier. Formule de Plancherel, définition de la transformée de Fourier dans L2(Rn). Exemples d'utilisation de la transformée de Fourier pour la résolution d’équations aux dérivées partielles à coefficients constants.

m07 Calcul integral

Sessions 1 et 2 : max(E, (E+P)/2)