L'unité d'enseignement ENSMI6U3
« Algèbre et Géométrie »
Objectifs :
Contenus :
Rappel sur les polynômes. Le théorème fondamental de l'algèbre (Gauss-d'Alembert). Complexification d'un espace vectoriel réel. Polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton. Caractérisation de la diagonalisabilité par le polynôme minimal. Sous-espaces caractéristiques, décomposition de Dunford, réduction de Jordan. Application de la réduction au calcul de l'exponentielle de matrices. Utilisation pour la résolution de systèmes d’équations différentielles linéaires à coefficients constants.
Polynômes d'endomorphismes, lemme des noyaux. Polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton. Caractérisation de la diagonalisabilité par le polynôme minimal. Sous-espaces caractéristiques, décomposition de Dunford, réduction de Jordan. Application de la réduction au calcul de l'exponentielle de matrices. Utilisation pour la résolution de systèmes d’équations différentielles linéaires à coefficients constants.
Rappels sur les espaces euclidiens et hermitiens. Exemples de suites de polynômes orthogonaux. Adjoint d'un endomorphisme, endomorphismes auto-adjoints. Endomorphismes normaux et réduction des endomorphismes normaux. Automorphismes orthogonaux, unitaires, matrices orthogonales, unitaires. Groupe orthogonal. Symétries orthogonales, projections orthogonales. Diagonalisation des endomorphismes auto-adjoints, version matricielle. Réduction des automorphismes orthogonaux, unitaires. Factorisation d'un automorphisme orthogonal en produit de symétries hyperplanes.
Formes bilinéaires, formes quadratiques. Matrices symétriques positives, définies positives. Caractérisations, racines carrées, factorisation de Cholesky. Les groupes de Lie classiques: GL(n,\R), GL(n,\C), SL(n,\R), SL(n,\C), O(n) SO(n) U(n) SU(n).
