Combinatoire des groupes et géométrie hyperbolique

Cours du master recherche en mathématiques 2^e année

Tronc commun - Premier semestre 2005-2006

Thierry Coulbois

Programme

Ce cours espère montrer aux étudiants différentes techniques de combinatoire et de géométrie des groupes. Il revient sur les bases de la géométrie hyperbolique et de topologie algébrique. Il essaye aussi d'illustrer ces techniques en présentant de nombreux groupes classiques. Enfin il guide modestement les étudiants vers les perspectives actuelles de la recherche.

Ébauche de cours temporaire et partielle.

Cours	Exemples
Combinatoire des groupes Mots, groupes et monoides libre, propriétés universelles, générateurs et relations Graphe de Cayley Sous-groupe d'un groupe libre, Nielsen-Schreier Groupe fondamental Homotopie, lacets Revêtement universel, domaine fondamental Espace quotient Théorème de Van-Kampen Groupes de présentation finie Problème des mots, fonction de Dehn Produit libre, amalgame, extension HNN Groupes agissant sur un arbre Le plan hyperbolique SL₂(R), homographies Géodésiques, angles, distances Hexagones isocèles rectangles, pavages Surfaces hyperboliques, paramétrisation de l'espace de Teichmuller Groupes hyperboliques Groupes hyperboliques à la Gromov Quasi-isométries Groupes de surfaces hyperboliques Présentation finie des groupes hyperboliques Bords Métriques hyperboliques, équivalences Bord de H₂ Métriques visuelles Bouts Bord de Gromov Structure conforme sur le bord de Gromov	Groupes de tresse Définition, présentation Groupes de nœud Variétés de dimension 3, problème d'isomorphisme Baumslag-Solitar Groupes linéaires Arbres de Bruhat-Tits Aut(F) Mouvements de Whitehead, Out(F), Culler-Vogtmann et son bord Groupes relativement libres Variétés de groupes, groupes nilpotents libres, produit en couronne Groupes fuchsiens Groupes résiduellement finis stabilité par produit libre Groupes de Coxeter

Cours

Exemples

Combinatoire des groupes
1. Mots, groupes et monoides libre, propriétés universelles, générateurs et relations
2. Graphe de Cayley
3. Sous-groupe d'un groupe libre, Nielsen-Schreier
Groupe fondamental
1. Homotopie, lacets
2. Revêtement universel, domaine fondamental
3. Espace quotient
4. Théorème de Van-Kampen
Groupes de présentation finie
1. Problème des mots, fonction de Dehn
2. Produit libre, amalgame, extension HNN
3. Groupes agissant sur un arbre
Le plan hyperbolique
1. SL₂(R), homographies
2. Géodésiques, angles, distances
3. Hexagones isocèles rectangles, pavages
4. Surfaces hyperboliques, paramétrisation de l'espace de Teichmuller
Groupes hyperboliques
1. Groupes hyperboliques à la Gromov
2. Quasi-isométries
3. Groupes de surfaces hyperboliques
4. Présentation finie des groupes hyperboliques
Bords
1. Métriques hyperboliques, équivalences
2. Bord de H₂
3. Métriques visuelles
4. Bouts
5. Bord de Gromov
6. Structure conforme sur le bord de Gromov

Groupes de tresse: Définition, présentation
Groupes de nœud: Variétés de dimension 3, problème d'isomorphisme
Baumslag-Solitar
Groupes linéaires: Arbres de Bruhat-Tits
Aut(F): Mouvements de Whitehead, Out(F), Culler-Vogtmann et son bord
Groupes relativement libres: Variétés de groupes, groupes nilpotents libres, produit en couronne
Groupes fuchsiens
Groupes résiduellement finis: stabilité par produit libre
Groupes de Coxeter

Bibliographie

Combinatorial Group Theory, Paul Lyndon et Roger Schupp, Springer, 20 LYN
Le livre de base de ce cours pour toute la partie combinatoire des groupes. Une référence pour tous les théoriciens des groupes.
Algebraic topology: an introduction, William S. Massey, Springer, Manuels MAS
La référence incontournable pour tout débutant en topologie algébrique. En plus des définitions de bases on y trouve la preuve de la classification des surfaces de dimension 2. Pour mon cours, il n'est pas nécessaire de s'atarder sur l'homologie.
Introduction to Group Theory, Derek J. S. Robinson, Springer, 20-01 ROB
Un point de vue très différent du Lyndon-Schupp et du Karass-Magnus-Solitar. Il y est plus question de groupes finis, de groupes résolubles, nilpotents, etc. J'aime beaucoup ce livre, même s'il est plutôt en dehors du programme de ce cours.
Arbres, Amalgames, SL₂, Jean-Pierre Serre, Astérisque SMF Séries SMF (voir aussi sa traduction anglaise Trees Springer)
Le livre où il faut apprendre ce que c'est qu'un arbre et comment les groupes agissent sur les arbres.
Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov, Étienne Ghys et Pierre de la Harpe, Birkahauser, 55 GHY
Il y a plusieurs livres exposant la théorie des groupes hyperboliques à la Gromov. Celui-ci ou le suivant, je n'ai pas de préférences marquées...
Notes on word hyperbolic groups, édité par Hamish Short, World Scientific
Metric spaces, convexity and nonpositive curvature, Athanase Papadopoulos, EMS
Géométrie et théorie des groupes, Michel Coornaert, Thomas Delzant et Athanase Papadopoulos, Springer 20 COO
Metric spaces of non-positive curvature, Martin Bridson et André Haefliger, Springer 57 BRI
Même s'il va nettement au delà du projet de ce cours la partie I sur les espaces géodésiques est concise et accessible. La partie III sur les espaces et les groupes $\delta$-hyperboliques est aussi bien faite.
Mapping class group, Nikolai Ivanov, dans Handbook of geometric topology, édité par R. J. Daverman et R. B. Sher, North-Holland
Nettement au-delà de l'objet de ce cours. Pour ceux qui veulent aller plus loin et comprendre les structures hyperboliques sur les surfaces, l'espace de Teichmuller, etc.
Combinatorial group theory, Wilhelm Magnus, Abraham Karrass et Donald Solitar, Dover Publications 20 MAG
Ce livre était la référence du sujet avant l'arrivée du Lyndon-Schupp, il est parfois plus élémentaire que ce dernier. Une très bonne référence en tout cas.
Generators and relations for discrete groups, H.S.M. Coxeter et W.O.J. Moser, Springer-Verlag 20 COX
Hyperbolic Geometry, J. Cannon, W. Floyd, R. Kenyon, W. Parry, in Flavors of Geometry, S. Levy, ed., MSRI pubs. 31, Cambridge Univ. Press
Un article d'introduction à la géométrie hyperbolique très bien fait et disponible en ligne
Three-dimensional geometry and topology Vol.1, William P. Thurston, Princeton University Press, 1997 57 THU
Notes sur la géométrie hyperbolique, Jean-Philippe Préaux, de beaux dessins, des explications claires, des calculs détaillés, tout ce qu'il vous faut pour comprendre le plan hyperbolique et ses isométries. Accessible en ligne à partir de la page de Jean-Philippe Préaux.
John C. Stillwell, Classical topology and combinatorial group theory. Graduate Texts in Mathematics, 72. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980. 55-01 STI
John C. Stillwell, Geometry of surfaces. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1992.

Calendrier

Le cours a lieu le mercredi de 16h30 à 18h30 au CMI dans l'aquarium

Semaine du	Cours	Documents et exercices
26 septembre	Cours de 16h à 18h exceptionnellement Groupe(s) libre(s), définition Graphe de Cayley Systèmes de Nielsen	TD 1
3 octobre	Transformations de Nielsen Système de Schreier Théorème de Nielsen Schreier Actions libres sur les arbres simpliciaux	TD 2
10 octobre	Graphes et arbres simpliciaux Groupes agissants librement sur un abre simplicial Topologie algébrique Variétés Chemins, homotopies Groupe fondamental Equivalence d'homotopie	TD 3
17 octobre	Exemples de variétés et de groupes fondamentaux Espaces quotients Triangulations Théorè de van Kampen Produit libre et amalgame	TD 4
24 octobre	Revêtements
31 octobre	Revêtements (fin) Groupes de présentation finie	TD 5
7 novembre	Groupes de présentation finie Problèmes de Dehn Produit libre, amalgame, extension HNN	Quelques notions sur la calculabilité, les fonctions récursives et les ensembles récursifs et récursivement énumérables
14 novembre	cours mardi 15 novembre 9h-11h Espaces géodésiques Espaces de courbure constante	TD 6 (attention des erreurs étaient présentes dans la feuille distribuée en cours, la version ci-contre a été modifiée) Trees de J.-P. Serre est arrivé à la bibliothèque.
21 novembre	Espace de courbures constante négative Le plan hyperbolique
28 novembre	Le plan hyperbolique (suite) Variétés hyperboliques
5 décembre	Espaces géodésiques hyperboliques Groupes hyerpboliques triangles fins et minces produit de Gromov algorithme de Dehn quasi-isométries et changement de sytème de générateurs
12 décembre	Lemme de Svar-Milnor Bord de Gromov Perspectives	TD 7
19 décembre	Vacances de Noel
26 décembre	Vacances de Noel
2 janvier	révision, correction des feuilles de TD
9 janvier	Examen mardi 10 janvier 2006 à partir de 8h30
16 janvier

Dernière mise à jour mardi 13 décembre 2005. Page créée et maintenue par Thierry Coulbois