Calcul des variations, équations d'Euler-Lagrange, équation de Beltrami

Le calcul des variations constitue une généralisation du problème de l'optimisation à des fonctions dépendant non plus d'une ou plusieurs variables réelles, mais aux ``fonctions de fonctions'' (on parle alors de fonctionnelles). Dans cette section, on décrit assez rapidement les bases du calcul des variations, non seulement dans sa formulation la plus usuelle, qui conduit à la mécanique de Hamilton, mais aussi dans des cadres plus généraux.

Equations d'Euler-Lagrange

Le formalisme d'Euler-Lagrange étend l'approche précédente au cas de fonctionnelles, c'est à dire d'applications définies sur un espace de fonctions à valeurs dans ${\mathbb{R}}$ (ou $\mathbb{C}$ )

$$\Phi: f_1,\dots f_N \to \Phi(f_1,\dots f_N)\in{\mathbb{R}}\quad\hbox{(ou }\mathbb{C})$$

c'est à dire d'applications associant une valeur numérique à une ou plusieurs fonctions $f_1,\dots f_N$ , et l'on recherche les fonctions qui minimisent cette fonctionnelle.

On part du cas simple d'une fonctionnelle $\Phi$ , dépendant des valeurs d'une unique fonction recherchée $f$ et sa dérivée $f'$ , sous la forme

$$\Phi[f] = \int_{x_1}^{x_2} F(x,f(x),f'(x))\,dx\ .$$ (1.7)

La variable $x$ est appelée variable indépendante , et les variables $f(x),f'(x)$ sont les variables dépendantes.

Le problème posé est de trouver la fonction $f$ telle que le nombre $\Phi[f]$ soit minimal (ou maximal), sous contrainte que les valeurs de $f$ aux bords $x_1$ et $x_2$ soient fixées. Dans le cas de des fonctions de plusieurs variables, rechercher les extrêma d'une fonction revient à chercher les points où la dérivée s'annule. C'est cette notion qu'il nous faut généraliser au cas des fonctionnelles. Nous allons rechercher les fonctions $f$ telles que $\Phi$ ne varie pas lorsque l'on varie $f$ de façon infinitésimale, dans une ``direction'' quelconque.

Etudier les variations de $f$ dans une ``direction'' $g$ (ici, $g$ est donc une fonction) donnée revient à étudier la quantité (la variation)

$$D_g f = \left(\frac{d}{d\epsilon} \Phi[f+\epsilon g]\right)_{\epsilon=0} = \lim_{\epsilon\to 0} \frac{\Phi(f+\epsilon g) - \Phi(f)}{\epsilon}$$

On se limite aux fonctions $g$ telles que

$$g(x_1) = g(x_2)=0\ .$$

Un calcul formel montre que ceci revient à écrire

$$\int_{x_1}^{x_2} \left(g(x)\frac{\partial F}{\partial f}(x,f(x),f'(x)) + g'(x)\frac{\partial F}{\partial f'}(x,f(x),f'(x))\right)\,dx=0\ ,$$

et une intégration par parties conduit à

$$\int_{x_1}^{x_2} g(x)\left(\frac{\partial F}{\partial f}(x,f(x),f'(x)) + \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f'}(x,f(x),f'(x))\right)\,dx=0\ .$$

On utilise ici la version unidimensionnalle du Lemme fondamental du calcul variationnel

En prenant pour $\Omega$ l'intervalle $\Omega = ]a,b[$ , on en déduit alors le résultat principal:

EXEMPLE 1.5   La ligne droite: Etant donné un chemin continu

$$y: x\in [x_1,x_2]\to y(x)$$

reliant $y_1=y(x_1)$ à $y_2=y(x_2)$ , sa longueur s'écrit

$${\mathcal L}[y] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+y'(x)^2}\,dx\ ,$$

c'est à dire $F(x,y,y') = \sqrt{1-y'^2}$ : pas de dépendance explicite en $x$ et $y$ . L'équation d'Euler-Lagrange s'écrit donc

$$\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'} = \frac{d}{dx}\frac{y'(x)}{\sqrt{1+y'(x)^2}}= \frac{y''(x)}{(1+y'(x)^2)^{3/2}} =0 \ ,$$

ce qui implique $y''(x)=0$ pour tout $x$ , i.e. $y(x)=ax+b$ . On retrouve donc bien une trajectoire rectiligne entre les deux points.

Cet exemple était aussi intéressant car il s'agissait d'un cas où la fonction $F$ ne dépend pas explicitement de $f$ , mais seulement de $f'$ . Alors, l'équation d'Euler-Lagrange prend la forme plus simple

$$\frac{\partial F}{\partial f'} = C^{te}\ .$$

Equation de Beltrami

Une autre situation dans laquelle les choses se simplifient est celle où $F$ ne dépend pas explicitement de $x$ . Dans ce cas, on peut écrire

$$\frac{d}{dx} F(f(x),f'(x)) = f'(x) \frac{\partial F}{\partial f} (f(x),f'(x))+ f''(x) \frac{\partial F}{\partial f'}(f(x),f'(x))\ .$$

L'équation d'Euler-Lagrange implique alors que

$$f' \frac{\partial F}{\partial f}(f(x),f'(x)) = f' \frac{d}{dx}\fr... ...frac{d}{dx} F(f(x),f'(x)) - f''(x) \frac{\partial F}{\partial f'}(f(x),f'(x))$$

d'où

$$\frac{d}{dx} F(f(x),f'(x)) = f'(x) \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f'}(f(x),f'(x)) + f''(x) \frac{\partial F}{\partial f'}(f(x),f'(x))$$

$$= \frac{d}{dx}\left(f'(x)\frac{\partial F}{\partial f'}(f(x),f'(x))\right)\ .$$

On en déduit l'équation de Beltrami

Ce résultat a souvent d'importantes implications lorsqu'il s'applique à un contexte physique. Il traduit le fait que lorsque la fonctionnelle à minimiser ne comporte pas de dépendance explicite dans la variable indépendante, alors il existe une quantité conservée , ici

$$F - f' \frac{\partial F}{\partial f'}\ .$$

Par exemple, dans le cas de l'application à la mécanique Hamiltonienne, nous verrons que lorsque le Lagrangien ne dépend pas explicitement du temps (qui est alors la variable indépendante), il existe une quantité conservée, le Hamiltonien, qui représente en fait l'énergie du système considéré.