Calcul des variations

De nombreux problèmes de la physique peuvent être posés sous ce que l'on appelle une formulation variationnelle , c'est à dire comme la recherche d'un optimum parmi une famille de solutions possibles. C'est notamment le cas de la mécanique de Hamilton (principe de moindre action), mais aussi du principe de Fermat en optique et de multiples autres exemples.

Dans les problèmes d'optimisation simples, la solution (l'optimum) est la plupart du temps obtenu en cherchant les zéros de la dérivée de la fonction à optimiser, ou de son gradient dans les cas de dimension supérieure. Ceci fournit dans la plupart des cas des optima locaux, parmi lesquels on doit trouver le vrai optimum.

On va s'intéresser ici à la situation de dimension infinie, dans laquelle on sera amené à étendre la notion de gradient à ce cadre plus large.