Formalisme Hamiltonien

La mécanique Hamiltonienne est l'exemple le plus classique d'application du calcul variationnel, et des théorèmes , et . Elle postule que la trajectoire suivie entre les instants $t_1$ et $t_2$ par un système en mouvement dans l'espace est toujours celle qui optimisera la quantité suivante, appelée action

$$J = \int_{t_1}^{t_2} L dt\ ,$$

où $L=T-V$ est le Lagrangien, égal à la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. C'est ce que l'on appelle le principe de moindre action . Le Lagrangien est en fait une fonctionnelle, qui dépend de la trajectoire suivie.

Supposons par exemple que le système dynamique considéré soit décrit par des coordonnées $q_1,q_2,\dots q_n$ et leurs dérivées $\dot q_1,\dot q_2,\dots \dot q_n$ , alors le Lagrangien prend la forme

$$L = L(q_1,q_2,\dots q_n,\dot q_1,\dot q_2,\dots \dot q_n)\ ,$$

et conduit aux équations du mouvement, appelées ici équations de Lagrange

$$\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = 0\ ,\quad i=1,\dots n\ .$$

REMARQUE 1.3   Ces équations du mouvement peuvent aussi être obtenues à partir des lois de Newton (et sont en fait équivalentes). Toutefois, pour des systèmes complexes, les équations de Lagrange sont généralement bien plus faciles à obtenir que ce que l'on pourrait faire à partir des équations de Newton.

EXEMPLE 1.7   Pendule double: On considère le pendule double représenté en FIG. , et on note $\theta$ et $\phi$ les coordonnées angulaires décrivant les deux brins.

Figure: Pendule double

On choisit pour origine des hauteurs des deux masses leur hauteur d'équilibre. L'énergie potentielle est alors donnée par

$$V(\theta,\phi) = mga (1-\cos(\theta)) + Mg\left(a(1-\cos\theta) + b(1-\cos\phi)\right)\ .$$

On montre facilement que l'énergie cinétique est quant à elle donnée par

$$T(\theta,\phi,\dot\theta,\dot\phi) =\frac1{2} ma^2\dot\theta^2 + ... ...\theta^2 + b^2\dot\phi^2 + 2ab\dot \theta\dot\phi\sin(\theta + \phi)\right)\ .$$

Tous calculs faits, les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent

$$\frac{d}{dt}\left((m+M)a^2\dot\theta + Mab\dot\phi\sin(\theta+\phi)\right) + (M+m)ga\sin\theta =$$ 0

$$\frac{d}{dt}\left(Mb^2\dot\phi + Mab\dot\theta\sin(\theta+\phi)\right) + Mgb\sin\phi = 0\ .$$

Le Hamiltonien: Supposons maintenant que le Lagrangien ne dépende pas explicitement du temps. On peut alors utiliser la variante multidimensionnelle de l'identité de Beltrami (Proposition ) et écrire les équations d'Euler-Lagrange sous la forme

$$\frac{d}{dt}\left( L - \sum_{i=1}^n \dot q_i \frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right)=0\ ,$$

ce qui implique que

$$L - \sum_{i=1}^n \dot q_i \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} = C\ ,$$

$C$ étant une constante. Cette propriété est appelée loi de conservation. On définit le Hamiltonien du système par

$$H = \sum_{i=1}^n \dot q_i \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} - L\ ,$$ (1.12)

et la loi de conservation stipule donc que le Hamiltonien est une quantité conservée.