Calcul des variations sous contrainte

Il est parfois possible d'utiliser le même type d'approche pour résoudre des problèmes variationnels lorsque des contraintes supplémentaires sont imposées à la solution. On a alors recours à la méthode des multiplicateurs de Lagrange, que nous avons déjà vu dans la section , et à une généralisation du théorème .

Plus précisément:

Notons que $C$ ne joue aucun rôle dans les équations d'Euler-Lagrange ci-dessus, et peut donc être supprimé. Il doit cependant être pris en compte (naturellement) lorsque la contrainte est imposée, ce qui permet de déterminer la valeur du multiplicateur $\lambda$ .

On peut mettre ce résultat en application sur l'exemple suivant.

EXEMPLE 1.8   Corde pesante à l'équilibre: on se donne une corde pesante de masse linéique $\mu$ et de longueur $L$ , dans le plan $xOz$ , attachée à ses extrêmités $A=(0,0)$ et $B=(a,z_1)$ . La corde est supposée à l'équilibre, donc le problème se ramène à minimiser l'énergie potentielle

$$V=\int_0^a\mu g z(x)\sqrt{1+z'(x)^2}\,dx\ ,$$

sous la contrainte

$$L = \int_0^a \sqrt{1+z'(x)^2}\,dx\ .$$

On introduit donc la fonctionnelle

$$J[z] = \int_0^a\mu g z(x)\sqrt{1+z'(x)^2}\,dx + \lambda\left(\int_0^a \sqrt{1+z'(x)^2}\,dx -L\right)$$

$$= \int_0^a (\mu g z(x) +\lambda)\sqrt{1+z'(x)^2}\,dx -\lambda L\ ,$$

à minimiser par rapport à $z$ et à $\lambda$ . Il n'y a pas de dépendance explicite dans la variable indépendante $x$ , on peut donc utiliser l'identité de Beltrami, qui s'écrit

$$(\mu gz +\lambda )\sqrt{1+z'^2} - (\mu gz +\lambda )\frac{z'^2}{\sqrt{1+z'^2}} = \frac{\mu g z + \lambda}{\sqrt{1+z'^2}} = C\ ,$$

et la solution est une chaînette

$$z(x) = -\frac{\lambda}{\mu g} + c\ {\rm ch}\left(\frac{x-x_0}c\right)\ .$$

Les constantes $c$ et $x_0$ sont déterminées par les conditions aux limites, et le multiplicateur de Lagrange $\lambda$ est quant à lui déterminé en imposant la contrainte.

La physique offre de nombreuses autres applications de ce principe variationnel sous contrainte. Pour n'en citer qu'un autre, on peut mentionner que l'équation de Schrödinger.

EXEMPLE 1.9   L'équation de Schrödinger donnant les niveaux d'énergie d'un opérateur Hamiltonien

$$H\psi = E\psi\ ,\quad H = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V\ ,$$

où $V$ est une fonction à valeurs réelles, peut être obtenue comme équation d'Euler-Lagrange d'un problème variationnel (c'est d'ailleurs ainsi que Schrödinger la formula initialement). On considère pour cela la fonctionnelle

$$\Phi[\psi] = \int_{{\mathbb{R}}^3}\left[\frac{\hbar^2}{2m}\vert\nabla\psi (x)\vert^2 + V(x)\vert\psi (x)\vert^2\right]\,dx\ .$$

On montre facilement que la fonction $\phi$ qui minimise cette fonctionnelle, avec conditions aux limites nulles, et sous la contrainte de normalisation

$$\int_{{\mathbb{R}}^3} \left\vert\psi(x)\right\vert^2\,dx = 1\ ,$$

doit satisfaire l'équation de Schrödinger ci-dessus.