Extensions à des cadres plus généraux

Le cas que nous avons considéré est en fait le cas le plus simple, qui peut être généralisé de diverses manières. Les cas d'intérêt les plus classiques concernent les situations multidimensionnelles, ainsi que les cas de fonctionnelles dépendant de plusieurs fonctions.

Le cas multidimensionnel; exemples de l'équation de Laplace et de l'équation des ondes

La généralisation la plus immédiate concerne l'extension au cas d'une variable indépendante ${\underline{x}}\in\Omega\subset{\mathbb{R}}^d$ vectorielle: la fonctionnelle $\Phi$ considérée dépend alors des dérivées partielles de $f$ par rapport aux différentes composantes de $x$ . Pour simplifier, on notera

$$f_{x_i}' = \frac{\partial f}{\partial {x_i}}\ ,\quad i=1,\dots d$$

la dérivée partielle de la fonction $f$ par rapport à la variable $x_i$ ,

$$f_{x_ix_j}'' = \frac{\partial^2 f}{\partial {x_i}\partial {x_j}}\ , \quad i,j=1,\dots d$$

et ainsi de suite.

Prenons l'exemple bidimensionnel: on se donne un domaine du plan $\Omega\subset{\mathbb{R}}^2$ , dont on note $\partial\Omega$ le bord, et on recherche les extrêma $f:\Omega\to{\mathbb{R}}$ de la fonctionnelle $\Phi$ définie par

$$\Phi[f] = \int_\Omega F({\underline{x}},f({\underline{x}}),f_{x_1}'({\underline{x}}),f_{x_2}'({\underline{x}}))\, d{\underline{x}}\ .$$

Comme dans le cas plus simple, on doit étudier les variations de $\Phi$ dans les ``directions'' $g$

$$D_g\Phi[f] = \left(\frac{d}{d\epsilon} \Phi[f+\epsilon g]\right)_... ...lon=0} = \lim_{\epsilon\to 0} \frac{\Phi(f+\epsilon g) - \Phi(f)}{\epsilon}\ ,$$

en se limitant aux fonctions $g$ telles que $g({\underline{x}}) = 0$ pour tout ${\underline{x}}\in \partial\Omega$ . En suivant pas à pas le calcul précédent, on aboutit à

$$\int_{\Omega} g({\underline{x}})\frac{\partial F}{\partial f}({\u... ...e{x}}),f'_{x_1}({\underline{x}}),f'_{x_2}({\underline{x}})) \,d{\underline{x}}$$

$$\hphantom{aaaaaaaaaaaa} +\int_\Omega g'_{x_2}({\underline{x}})\fr... ...{x_1}({\underline{x}}), f'_{x_2}({\underline{x}})))\,d{\underline{x}}\ =\ 0\ ,$$

et une intégration par parties dans chacun des deux derniers termes, prenant en compte le fait que $g=0$ sur $\partial\Omega$ conduit à

$$\int_\Omega g({\underline{x}})\bigg(\frac{\partial F}{\partial f}... ...ne{x}},f({\underline{x}}),f'_{x_1}({\underline{x}}),f'_{x_2}({\underline{x}}))$$

$$\hphantom{aaaaaaaaaaaaa} + \frac{\partial}{\partial x_2}\frac{\pa... ..._1}({\underline{x}}),f'_{x_2}({\underline{x}})) \bigg)\,d{\underline{x}}= 0\ .$$

Il suffit alors d'utiliser le lemme fondamental du calcul des variations (voir le lemme ), pour en déduire

$$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{\partial}{\partial x_1} \fr... ...}'} - \frac{\partial}{\partial x_2} \frac{\partial F}{\partial f_{x_2}'} =0\ .$$

Plus généralement, on montre le résultat suivant

On obtiend donc un résultat qui est une généralisation directe du Théorème .

On considère ci-dessous un certain nombre d'exemples d'applications de ce résultat.

Surfaces minimales

Le problème de Plateau (ou du film de savon) : que se passe-t-il lorsque l'on plonge un anneau de forme quelconque dans de l'eau savonneuse ? Un film de savon se forme à l'intérieur de l'anneau, représentant une surface. La forme de cette surface peut être calculée, partant du principe que la nature cherche à minimiser l'aire de la surface ainsi créée.

On modélise cela de la façon suivante. on considère un domaine $\Omega\subset{\mathbb{R}}^2$ du plan, de bord $\partial\Omega$ et la hauteur du film de savon au point ${\underline{x}}$ est notée $z=u({\underline{x}})$ , ${\underline{x}}\in\Omega$ . L'anneau est modélisé comme une fonction $u_0: {\underline{x}}\in\partial\Omega\to u_0({\underline{x}})\in{\mathbb{R}}$ , et la surface du film de savon représenté par $u$ s'écrit comme

$$\Phi[u] = \int_\Omega \sqrt{1 + u'_{x_1}({\underline{x}})^2 + u'_{x_2}({\underline{x}})^2}\,d{\underline{x}}\ .$$ (1.9)

Le problème posé est donc de minimiser $\Phi$ , avec la condition au bord

$$u = u_0\quad\hbox{sur }\partial\Omega\ .$$

On a donc

$$F({\underline{x}},u({\underline{x}}), u'_{x_1}({\underline{x}}),u... ...}})) = \sqrt{1 + u'_{x_1}({\underline{x}})^2 + u'_{x_2}({\underline{x}})^2}\ .$$

fonction qui ne dépend explicitement ni de la variable indépendante ni de $u$ . Donc Calculons

$$\frac{\partial F}{\partial u'_{x_1}} = \frac{u'_{x_1}}{\sqrt{1 + u'_{x_1}({\underline{x}})^2 + u'_{x_2}({\underline{x}})^2}}\ ,$$

et une expression similaire pour la dérivée par rapport à $u'_{x_2}$ . Calculons maintenant

$$\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{\partial F}{\partial u'_{x_1}}... ...))} {[1 + u'_{x_1}({\underline{x}})^2 + u'_{x_2}({\underline{x}})^2]^{3/2}}\ ,$$

et une expression similaire pour $\frac{\partial}{\partial x_2}\frac{\partial F}{\partial u'_{x_2}}({\underline{x}})$ .

L'équation d'Euler-Lagrange associée

$$\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{\partial F}{\partial u'_{x_1}}... ...\partial}{\partial x_2}\frac{\partial F}{\partial u'_{x_2}}({\underline{x}})=0$$

prend donc la forme

$$\left(1+{u'_{x_1}}^2\right)u''_{x_2x_2} -2 u'_{x_1} u'_{x_2} u''_{x_1x_2} + \left(1+{u'_{x_2}}^2\right)u''_{x_1x_1} = 0$$ (1.10)

Equation de Laplace

On cherche à déterminer le champ électromagnétique à l'intérieur d'un domaine $\Omega\subset{\mathbb{R}}^3$ , dont les bords sont fixés à un potentiel $\phi_0$ . On note $\phi$ le potentiel dont dérive le champ électrique $E$ .

L'énergie électromagn étique engendrée par un potentiel $\phi$ quelconque dans un volume $\Omega\subset{\mathbb{R}}^3$ est de la forme

$$W[\phi] = \frac{\epsilon_0}2\,\int_\Omega (\nabla\phi({\underline... ...hi'_{x_2}({\underline{x}}),\phi'_{x_3}({\underline{x}})]\,d{\underline{x}} \ ,$$

avec

$$F[\phi'_{x_1}({\underline{x}}),\phi'_{x_2}({\underline{x}}),\phi'... ...}})^2 + \phi'_{x_2}({\underline{x}})^2 + \phi'_{x_3}({\underline{x}})^2\right]$$

Pour un potentiel aux bords fixé, le potentiel intérieur est celui qui minimise cette énergie.

En variant $W[\phi]$ par rapport à $\phi$ , avec conditions aux bords fixées $\phi=\phi_0$ sur $\partial\Omega$ , on obtient l'équation d'Euler-Lagrange

$$-\epsilon_0 \sum_{i=1}^3 \frac{\partial^2\phi}{\partial x_i^2} = -\epsilon_0 \Delta\phi=0\ .$$

C'est l'équation de Laplace. En l'absence de conditions aux bords, un potentiel nul (et donc un champ nul) serait une solution, ce qui n'est évidemment plus le cas en présence de conditions aux bords.

Equation des ondes

Soit $\phi: ({\underline{x}},t)\in\Omega\subset{\mathbb{R}}^4\to \phi({\underline{x}},t)\in{\mathbb{R}}$ une fonction de l'espace et du temps, représentant la valeur d'un champ (scalaire) au point ${\underline{x}}$ et à l'instant $t$ . On suppose que l'énergie associée à ce champ $\phi$ coïncide avec l'intégrale de la (pseudo)norme de Minkowsky du quadrivecteur des dérivées spatiales et temporelle du champ:

$$I[\phi] = \int_\Omega \left[\left\vert\nabla\phi({\underline{x}},... ...al\phi({\underline{x}},t)}{\partial t}\right)^2\right]\, d{\underline{x}}dt\ .$$

En minimisant cette quantité par rapport à $\phi$ avec une condition aux bords donnée

$$\phi({\underline{x}},t)=\phi_0({\underline{x}},t)\ ,\quad\forall {\underline{x}}\in\partial\Omega$$

Il est facile de voir, par un calcul similaire au précédent, que l'équation d'Euler-Lagrange correspondante est alors l'équation des ondes

$$\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi({\underline{x}},t) = \frac1{c^2}\Delta\phi({\underline{x}},t)\ ,$$

$\Delta$ représentant le Laplacien spatial.

Fonctionnelles dépendant de plusieurs fonctions

Une autre extension possible est celle au cas de fonctionnelles non plus d'une mais de plusieurs variables dépendantes. Contrairement à la section précédente, c'est maintenant la variable dépendante qui est ici vectorielle, et non plus la variable indépendante.

Par exemple, supposons que $\Phi$ s'écrive sous la forme

$$\Phi[f_1,f_2] = \int F(x,f_1(x),f_2(x),f_1'(x),f_2'(x))\,dx\ .$$

Pour trouver les extrêma d'une telle fonctionnelle, c'est à dire les couples $(f_1,f_2)$ qui la minimisent ou la maximisent, il faut faire varier simultanément $f_1$ et $f_2$ .

Il est facile de vérifier que dans un tel cas de figure, on obtient non plus une mais deux équations d'Euler-Lagrange, donc un système d'équations de la forme

$$\left\{ \begin{array}{lll} {\displaystyle} \frac{\partial F}... ...x}\frac{\partial F}{\partial f_2'} &=& 0\ . \end{array}\right.$$

Dans le cas de dimension quelconque, on montre similairement le résultat suivant

EXEMPLE 1.6   La mécanique Hamiltonienne fournit de nombreux exemples de telles situations. Notons par exemple $q_1(t),q_2(t),q_3(t)$ les coordonnées d'un point matériel à l'instant $t$ , et $\dot q_i(t),i=1,2,3$ les dérivées temporelles de ces coordonnées. Si on note ${\mathcal L}(t,q_1(t),\dots \dot q_3(t))$ la densité Lagrangienne associée, alors les trajectoires entre $t_1$ et $t_2$ sont données par les minima de l'intégrale d'action

$${\mathcal A}[q] = \int_{t_1}^{t_2} {\mathcal L}(t,q_1(t),q_2(t),q_3(t), \dot q_1(t),\dot q_2(t),\dot q_3(t))\, dt\ .$$

L'équation de Beltrami (Proposition ) se généralise elle aussi de façon simple. Supposons que la fonction $F$ ne dépende pas explicitement de la variable dépendante $x$ , on peut alors écrire (en omettant les variables, pour simplifier les écritures) pour tout $i$

$$\frac{dF}{dx} = \sum_{i=1}^n \left( f_{i}' \frac{\partial F}{\partial f_i} + f_{i}'' \frac{\partial F}{\partial f_i'} \right)\ .$$

Partant des équations d'Euler-Lagrange (), multipliant la $i$ -ième par par $f_i'$ et sommant sur $i$ , on obtient alors

$$\sum_{i=1}^n f_i' \frac{\partial F}{\partial f_i} = \sum_{i=1}^n f_i' \,\frac{d}{dx}\,\frac{\partial F}{\partial f_i'}$$

$$= \frac{dF}{dx} -\sum_{i=1}^n f_i''\,\frac{\partial F}{\partial f_i'}\ ,$$

d'où

$$\frac{dF}{dx} = \sum_{i=1}^n\left( f_i''\,\frac{\partial F}{\partial f_i'} + \frac{d}{dx}\,\frac{\partial F}{\partial f_i'}\right)$$

$$= \frac{d}{dx}\, \left( \sum_{i=1}^n f_i' \frac{\partial F}{\partial f_i'}\right)\ .$$

On a donc montré

Dans ce cadre aussi, l'absence de dépendance dans la variable indépendante se traduit par l'existence d'une quantité conservée. On verra plus loin une interprétation de cette formule dans le cadre de la mécanique Hamiltonienne.

Fonctionnelles de dérivées d'ordre supérieur

Nous avons jusqu'à présent considéré uniquement le cas de fonctionnelles $\Phi$ dépendant d'une variable dépendante $y$ et de sa dérivée $y'$ (essentiellement motivés par la formulation Hamiltonienne de la mécanique classique). On peut en fait étendre le formalisme du calcul des variations à des cadres plus larges, comme par exemple le cadre où la fonctionnelle $\Phi$ dépend de dérivées d'ordre supérieur de la variable dépendante $y$ . On est dans ce cas conduit à des équations différentielles d'ordre supérieur.

Par exemple, considérons la fonctionnelle $\Phi$ , définie par

$$\Phi[f] = \int_{x_1}^{x_2} F(x,f(x),f'(x),f''(x))\,dx\ ,$$

et soit $f\in C^4$ , extrêmum de cette fonctionnelle. Alors, pour tout $g\in C^2$ , telle que $g(x_1)=g(x_2)=g'(x_1)=g'(x_2)=0$ , on a

$$\frac{d}{d\epsilon} \Phi[f+\epsilon g] = \int_{x_1}^{x_2}\bigg( g(x)\frac{\partial F}{\partial f} (x,f(x),f'(x),f''(x))$$

$$\hphantom{\int_{x_1}^{x_2} g(x)} + g'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} (x,f(x),f'(x),f''(x))$$

$$\hphantom{\int_{x_1}^{x_2}g(x)} + g''(x) \frac{\partial F}{\partial f''} (x,f(x),f'(x),f''(x)) \bigg)\,dx$$

Par intégrations par parties successives, et application du lemme fondamental, on obtient l'équation d'Euler-Lagrange correspondante

$$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f'} + \frac{d^2}{dx^2}\frac{\partial F}{\partial f''} =0$$

On voit bien que cette équation sera généralement une équation différentielle d'ordre supérieur.

REMARQUE 1.2   Dans ce cadre, on voit intervenir des dérivées d'ordres supérieurs des fonctions considérées. Il est donc nécessaire en toute rigueur, de faire les hypothèses de différentiabilité correspondantes pour pouvoir énoncer un théorème correct.

Conditions aux bords naturelles

Les calculs que nous avons effectués jusqu'à présent concernaient les situations dans lesquelles les conditions aux bords sont totalement fixées. Il existe des situations dans lesquelles les conditions aux bords ne sont pas complètement fixées, et il est possible d'étendre l'analyse faite plus haut à ces cas de figure.

Prenons par exemple le cas où $f\in C^2([x_1,x_2])$ extrêmum de

$$\Phi[f] = \int_{x_1}^{x_2} F(x,f(x),f'(x))\, dx$$

sous la seule condition aux limites

$$f(x_1)=a\ .$$

Dans ce cas, la condition nécessaire d'existence d'un extrêmum en $f$ s'écrit

$$\frac{d}{d\epsilon} \Phi[f+\epsilon g]=0$$

pour tout $g\in C^2(]x_1,x_2[)$ tel que $g(x_1)=0$ , sans autre condition en $x=x_2$ pour $g$ . Ceci implique

$$\int_{x_1}^{x_2} g(x)\left[\frac{\partial F}{\partial f}(x,f(x),f'(x)) -\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f'}(x,f(x),f'(x))\right]\,dx$$

$$\hphantom{toto} + g(x_2) \frac{\partial F}{\partial f'}(x_2,f(x_2),f'(x_2))=0\ .$$

Ceci étant vérifié pour tout $g$ , en particulier pour les $g$ telles que $g(x_2)=0$ , on en déduit que l'équation d'Euler-Lagrange () reste valide. De plus, le cas $g(s_2)\ne 0$ , quelconque, implique une seconde équation, appelée condition aux bords naturelle

$$\frac{\partial F}{\partial f'}(x_2,f(x_2),f'(x_2))=0\ .$$ (1.11)