L'unité d'enseignement ENSMI3U1
« Analyse 2 »

Développer les principales méthodes d’étude des séries numériques réelles ou complexes. Donner une première approche des notions de convergence simple et uniforme d'une suite et d'une série de fonctions.

• Définitions générales. Séries absolument convergentes. Séries à termes positifs, critères de comparaison, séries de références (géométriques, Riemann), critères de Cauchy et de d'Alembert. Equivalents des sommes partielles et des restes. On donnera de nombreux exemples et on soulignera en particulier l'utilisation des équivalents et des développements limités. Produit de séries absolument convergentes. Séries alternées. Comparaison entre la convergence des intégrales impropres et des séries, en liaison avec le module de calcul intégral. Méthodes de calcul approché de la somme d'une série (en TD).
• Définition de la convergence simple et de la convergence uniforme d'une suite de fonctions réelles ou complexes. Continuité, dérivabilité de la limite d'une suite de fonctions. Approximation uniforme des fonctions continues par des polynômes, des fonctions continues périodiques par des polynômes trigonométriques. Vocabulaire de l'approximation uniforme. Approximation uniforme d'une fonction continue par des polynômes, d'une fonction continue par morceaux par des fonctions en escalier. Séries de fonctions, convergence simple, convergence uniforme. On s'attachera surtout au cas de la convergence normale. Continuité et dérivabilité de la somme d'une série de fonctions. Interversion des séries et intégrales.
• Séries entières Généralités sur les séries entières, rayon de convergence, disque de convergence. Continuité, dérivabilité, intégrabilité. Expression intégrale des coefficients. Fonctions développables en série entière, développements de fonctions usuelles. Fonction exponentielle.

m3 Analyse 1 ; m4 Algèbre linéaire 1

• Parcours MG, MI, MB: Session 1 : NF=MAX(ET,(2*E+P)/3) -- Session 2 : E
• CUPGE: Contrôle continu intégral NF = (max(DS1,DS2) +DS3 + CC) /3