L'unité d'enseignement ENSMI5U2a
« Topologie et analyse »

Contenus :

Topologie dans un espace métrique, avec comme exemples importants (Rn, lp, C([a,b]), Ck([a,b]), Lp en liaison avec le calcul intégral). (8 semaines) Définition d'une norme, boules, normes équivalentes. Ouverts, fermés, intérieur, adhérence. Parties denses. Topologie induite. Caractérisation des fermés, de l’adhérence et de la densité, en termes de suites. Limites et continuité, définitions et caractérisation par les suites. Suites extraites, valeurs d'adhérence. Continuité uniforme, fonctions lipschitziennes. Homéomorphismes. Suites de Cauchy, espaces de Banach. Théorème du point fixe. Espaces compacts. Caractérisation par les suites, théorème de Heine. Caractérisation dans un espace vectoriel de dimension finie. Caractérisation par les recouvrements ouverts. Caractérisation des applications linéaires continues, norme d'une application linéaire continue. Connexité, connexité par arcs, composantes connexes.

Analyse hilbertienne (4 semaines - en liaison avec ENSMI5U2) Espaces de Hilbert en dimension quelconque, Orthogonalité, Pythagore, projection sur un convexe, projecteur orthogonal, théorème de representation de Riesz, base hilbertienne

Prérequis :

m8 Fonctions de plusieurs variables

Modalités de contrôle des connaissances :

Session 1 : NF=max(E,(2E+P+CC)/4)-- Session 2 : E (à confirmer par l'enseignant responsable)

L'unité d'enseignement ENSMI5U2a « Topologie et analyse »

Contenus :

Prérequis :

Modalités de contrôle des connaissances :

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« Topologie et analyse »