L'unité d'enseignement ENSMI5U2b
« Calcul différentiel et optimisation »

Contenus :

1. Calcul différentiel (8 semaines) Définition de la différentielle en un point d'une fonction définie sur un ouvert de d'un espace de dimension finie, fonction différentiable sur un ouvert, propriétés, lien avec la continuité. Dérivée suivant un vecteur. Différentielle d'une composée, d'un produit, d'un quotient. Dérivées partielles, matrice jacobienne. Lien entre différentielle et dérivées partielles, fonctions de classe C1. (NB : certaine de ces notions ont été introduites dans R^n dans l'UE “Fonctions de plusieurs variables” au S4). Inégalité des accroissements finis. Dérivées partielles d'ordre supérieur, fonctions Ck, théorème de Schwarz. Inégalité de Taylor-Lagrange, expression intégrale du reste, formule de Taylor-Young. Théorème des fonctions implicites, d'inversion locale. Sous-variétés de R^N. Champs de vecteurs. Potentiel scalaire ; condition nécessaire et suffisante d'existence pour un champ de classe C1 sur un ouvert étoilé.

2. Optimisation (4 semaines) Existence, unicité et condition nécessaire d'optimalité (equation d'Euler) pour le problème sans contrainte (extrema libres), puis pour le problème avec contraintes (extrema liés). Multiplicateurs de Lagrange pour les contraintes égalités. Lagrangien et point selle. Quelques algorithmes de recherche d'extremum par méthode directe (méthodes de gradient), équation d'Euler (méthode de Newton) et dualité (Uzawa).

Prérequis :

m8 Fonctions de plusieurs variables

Modalités de contrôle des connaissances :

Session 1 : NF=max(E,(2E+P+CC)/4)-- Session 2 : E

L'unité d'enseignement ENSMI5U2b « Calcul différentiel et optimisation »

Contenus :

Prérequis :

Modalités de contrôle des connaissances :

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