Rappels d'analyse fonctionnelle

Les outils de base pour l'analyse et le traitement des signaux (déterministes comme aléatoires) sont les outils d'analyse Hilbertienne, en dimension finie et infinie. On rappelle dans ce chapitre les notions élémentaires (espaces de Hilbert, bases orthonormées,...). Ces notions sont utilisées pour la théorie $L^2$ des séries de Fourier.

Préliminaires

Commençons par rappeler quelques résultats élémentaires concernant les espaces de Hilbert. Pour plus de détails, on pourra se référer à tout texte de base, par exemple [7]

En posant pour tout $x\in H$

$$\vert\vert x\vert\vert = \sqrt{\langle x,x\rangle}\ ,$$ (A.1)

on définit une norme sur $H$ . On a alors les propriétés suivantes:

• Inégalité de Schwarz: pour tous $x,y\in H$ : $\left\vert\langle x,y\rangle\right\vert \le \vert\vert x\vert\vert\,\vert\vert y\vert\vert$ .
• Inégalité triangulaire: pour tous $x,y\in H$ : $\vert\vert x+y\vert\vert\le \vert\vert x\vert\vert + \vert\vert y\vert\vert$ .
• Identité de polarisation:
  $$4\ \langle x,y\rangle = \left(\vert\vert x+y\vert\vert^2 - \vert\... ... + i \left(\vert\vert x+iy\vert\vert^2 - \vert\vert x-iy\vert\vert^2\right)\ .$$

La norme munit $H$ d'une structure d'espace métrique.

Le résultat suivant est une conséquence immédiate des inégalités données ci-dessus.

Orthogonalité

Si $H_0\subset H$ est un sous-espace de dimension finie de $H$ , on note $H_0^\perp$ le sous-espace de $H$ consistant des $y\in H$ tels que $\langle y,x\rangle =0\,\forall x\in H_0$ .

$Px$ et $Qx$ sont respectivement les projections orthogonales de $x\in H$ sur $H_0$ et $H_0^\perp$ .

Preuve: 1) Unicité: supposons $x=v+w=v'+w'$ , avec $v,v'\in H_0$ et $w,w'\in H_0^\perp$ . Alors $v-v'=w-w'$ . Comme $H_0\cap H_0^\perp =\{0\}$ , ceci implique $v=v'$ et $w=w'$ . Existence: Soit $H_x = H_0 +x$ . $H_x$ est convexe. Il possède donc un élément de norme minimale, noté $Qx$ . Soit $Px = x-Qx$ . On vérifie immédiatement que $Px\in H_0$ . Soit $y\in H_0$ , avec $\vert\vert y\vert\vert=1$ ; calculons $\langle Qx,y\rangle$ . Pour cela, soit $\alpha\in\mathbb{C}$ , et évaluons

$$\vert\vert Qx\vert\vert^2 \le \vert\vert Qx-\alpha y\vert\vert^2 ... ...t\vert^2 + \vert\alpha\vert^2 - 2\Re\left( \alpha\langle Qx,y\rangle\right)\ .$$

Si on prend $\alpha =\overline{\langle Qx,y\rangle}$ , cette dernière inégalité implique que $\langle Qx,y\rangle=0$ .

2)Soit $y\in H_0$ . Alors $\vert\vert x-y\vert\vert^2 = \vert\vert Qx + (Px-y)\vert\vert^2 = \vert\vert Qx\vert\vert^2 + \vert\vert Px-y\vert\vert^2$ est minimal pour $y=Px$ .

3) et 4) sont immédiats. $\spadesuit$

Le théorème suivant montre qu'un espace de Hilbert est nécessairement isomorphe à son dual.

Preuve: La première partie est une conséquence immédiate du Théorème , et on se focalise sur la seconde partie. Unicité: Supposons que $L=L_x =L_{x'}$ , pour $x,x'\in H$ . Alors $\langle y,x-x'\rangle =0$ pour tout $y\in H$ , donc $x=x'$ . Existence: soit $H_0 =\{y\in H, Ly=0\}$ . $L$ étant linéaire, $H_0$ est un sous-espace de $H$ . De plus, $L$ étant continue, $H_0$ est fermé. Soit $z\in H_0^\perp$ , avec $\vert\vert z\vert\vert=1$ . Soit $v=(Lx)z - (Lz)x$ . Clairement, $Lv=0$ , et donc $v\in H_0$ et $\langle v,z\rangle=0$ . Par conséquent, $Lx = (Lz) \langle x,z\rangle$ , et en posant $y=\overline{Lz}\, z$ , on a bien $L=L_y$ . $\spadesuit$

Systèmes orthonormaux, bases Hilbertiennes

La façon la plus simple de décrire un espace de Hilbert est d'utiliser une base. Plusieurs notions de bases Hilbertiennes peuvent être introduites. L'une des plus générales est la notion de base de Schauder. Une famille $\{f_\lambda,\lambda\in\Lambda\}$ est une base de Schauder d'un espace de Banach $B$ si $\forall x\in B$ , il existe une unique suite $\{c_\lambda, \lambda\in\Lambda\}$ telle que $x=\sum_{\lambda\in\Lambda} c_\lambda f_\lambda$ (dans le cas où $B$ est de dimension infinie, l'égalité est à prendre au sens de la topologie induite par la norme de $B$ ). Cependant, les bases de Schauder sont souvent difficiles à manipuler, et la convergence du développement d'un élément de l'espace par rapport à une telle base est parfois problématique. C'est pourquoi il est utile de se limiter à des bases plus spécifiques. Le cas le plus simple est le cas des bases orthonormales. Commençons par préciser la notion d'orthogonalité et de projection orthogonale.

Dans cette section, $H$ est un espace de Hilbert séparable. Un système orthonormal dans $H$ est une famille $\{e_\lambda\in H,\lambda\in\Lambda\}$ , telle que

$$\langle e_\lambda,e_\mu\rangle =\left\{ \begin{array}{ll} 1&\hbox{ si }\lambda=\mu\\ 0&\hbox{ sinon} \end{array}\right.$$ (A.2)

Ici, $\Lambda$ est un index au plus dénombrable (si $\Lambda$ est infini, on prendra $\Lambda=\mathbb{Z}$ ).

Preuve: Pour tout $\lambda\in\Lambda'$ , $\langle x',e_\lambda\rangle = \langle x,e_\lambda\rangle$ . Donc, $(x-x')\perp e_\lambda$ pour tout $\lambda\in\Lambda'$ , et $(x-x')\perp (x'-s)$ pour tout $s\in H_{\Lambda'}$ . Donc, $\vert\vert x-s\vert\vert^2 = \vert\vert x-x'\vert\vert^2 + \vert\vert x'-s\vert\vert^2$ , et $\vert\vert x-x'\vert\vert\le \vert\vert x-s\vert\vert$ pour tout $s\in H_{\Lambda'}$ . De plus, cette inégalité prise pour $s=0$ montre que $\vert\vert x'\vert\vert^2 \le \vert\vert x\vert\vert^2$ , ce qui conclut la preuve. $\spadesuit$

Ceci montre en particulier que $x'$ est la meilleure approximation de $x\in H$ dans $H_0$ .

Le résultat suivant, appelé théorème de Riesz-Fischer, permet de préciser le précédent. Il établit en particulier le fait que l'existence d'une base orthonormée dans un espace de Hilbert permet de le mettre en correspondance avec un espace $\ell^2$ de suites de carré sommable.

Ce résultat est une conséquence du lemme classique suivant

Preuve: Le fait que $f$ se prolonge en une isométrie est une conséquence immédiate de la densité de $F$ dans $E$ . L'élément essentiel du résultat est la surjectivité. Soit $y\in E'$ . Comme $f(F)$ est dense dans $E'$ , il existe une suite $\{x_n\}$ d'éléments de $F$ telle que $f(x_n)\to y$ . La suite $\{f(x_n)\}$ est une suite de Cauchy, et $f$ étant une isométrie, la suite $\{x_n\}$ est elle aussi une suite de Cauchy, qui converge vers $x\in E$ (puisque $E$ est complet). $f$ étant continue, on a bien $f(x)=y$ , ce qui prouve le lemme. $\spadesuit$

Preuve du théorème : L'inégalité () est vraie pour tout sous-ensemble fini de $\Lambda$ , et implique donc l'inégalité de Bessel. On considère l'application ``coefficients'' $f$ , qui à $x\in H$ associe la suite des coefficients $\{\langle x,e_\lambda\rangle\}$ . $f$ est bien entendu linéaire; d'après l'inégalité de Bessel, on a pour tous $x,y\in F$ :

$$\Vert f(x)-f(y)\Vert^2=\sum_\lambda \left\vert\langle x,e_\lambda\rangle - \langle y,e_\lambda\rangle\right\vert^2 \le \Vert x-y\Vert^2\ ,$$

et $f$ est donc continue de $F$ dans $\ell^2(\Lambda)$ . Il suffit alors d'appliquer le Lemme  pour conclure. $\spadesuit$

Le résultat suivant donne une caractérisation des bases orthonormées. Rappelons qu'une famille $\{e_\lambda,\lambda\in\Lambda\}$ est complète dans $H$ si l'ensemble des combinaisons linéaires finies des $e_\lambda$ est dense dans $H$ .

REMARQUE A..1   On parle parfois de famile totale au lieu de famille complète. Les deux terminologies décrivent la même notion. On montre que dans un espace de Hilbert, une famille $\{e_\lambda,\lambda\in\Lambda\}$ est complète si $\langle x,e_\lambda\rangle=0$ pour tout $\lambda\in\Lambda$ implique $x=0$ .

Preuve: 1) implique 2): soit $F$ l'ensemble des combinaisons linéaires finies des $e_\lambda$ , et supposons $\overline{F}\ne E$ . Alors, il existe $y\in \overline{F}^\perp$ , $y\ne 0$ , et la famille n'est pas maximale. Les autres implications sont des conséquences directes des résultats précédents. 2) implique 3): c'est une conséquence du théorème de Riesz-Fischer ci-dessus. 3) implique 4): s'obtient grâce à l'identité de polarisation. 4) implique 1): supposons que 1) soit faux: il existe $u\in H$ , $u\ne 0$ , tel que $\langle u,e_\lambda\rangle=0\ \forall\lambda$ . Alors, d'après 4), $\vert\vert u\vert\vert^2=0$ , ce qui est impossible. $\spadesuit$

EXEMPLE A..1   En dimension finie, par exemple pour $H=\mathbb{C}^N$ , toute famille orthonormale de $N$ vecteurs est une base orthonormée.

EXEMPLE A..2   Considérons l'espace

$${\mathcal V}=\left\{ f\in L^2({\mathbb{R}}), \hbox{ constante sur tout intervalle }[k,k+1[, k\in\mathbb{Z}\right\}\ ,$$

muni du produit scalaire usuel sur $L^2({\mathbb{R}})$ . En posant

$$\phi_n(t) = \chi_{[n,n+1[}(t)\ ,\quad n\in\mathbb{Z}\ ,$$

on vérifie que la famille des $\phi_n,n\in\mathbb{Z}$ est une base orthonormée de ${\mathcal V}$ . L'orthonormalité des fonctions $\phi_k$ est immédiate. Par ailleurs, si $f\in{\mathcal V}$ est orthogonale à toutes les fonctions $\phi_k$ , alors $f$ est nulle sur tout intervalle $[k,k+1[$ et est donc nulle.

EXEMPLE A..3   Soit la function $\omega$ définie par $\omega(t) = (1-t^2)^{-1/2}$ . On considère l'espace $L^2_\omega([-1,1])$ des fonctions $f$ telles que $f\sqrt{\omega}\in L^2([-1,1])$ . $L^2_\omega([-1,1])$ est muni d'une structure d'espace de Hilbert par le produit Hermitien

$$\langle f,g\rangle_\omega = \int_{-1}^1 f(t)\overline{g}(t)\,\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\ .$$

Soit ${\mathcal U}$ l'opérateur défini par ${\mathcal U}f(\theta) = f(\cos\theta)$ . ${\mathcal U}$ est une isométrie de $L^2_\omega([-1,1])$ sur $L^2([0,\pi])$ :

$$\Vert{\mathcal U}f\Vert^2 = \int_0^\pi \vert f(\cos\theta)\vert^2 d\theta = \int_{-1}^1 \vert f(t)\vert^2\omega(t)\,dt = \Vert f\Vert _\omega^2\ .$$

On sait que la famille des fonctions $\{e_n,n\in\mathbb{Z}^+\}$ définies par $e_n(\theta)=\cos (n\theta)$ est une base orthogonale de $L^2([0,\pi])$ . Par conséquent, la famille des fonctions $T_n={\mathcal U}{^{-1}}e_n$ :

$$T_n(t) = \cos\left(n\hbox{ arc}\cos t\right)\ .$$

est une base orthogonale de $L^2_\omega([-1,1])$ . Les fonctions $T_n$ sont appelées polynômes de Chebyshev.

Bases de Riesz

Jusqu'à présent, nous nous sommes limités à utiliser des bases orthonormées, qui ont le grand mérite de simplifier la représentation des signaux (grâce en particulier au théorème de Riesz-Fischer, et à la formule de Parseval). Par malheur, il n'est pas toujours facile de construire directement une base orthonormée de l'espace considéré. Il est alors utile de commencer par une base de Riesz, comme définie ci-dessous.

Remarquons immédiatement que si $\{f_n,n\in\Lambda\}$ est une base de Riesz de $H$ , alors on a $\vert\vert f_n\vert\vert =\vert\vert Te_n\vert\vert\le \vert\vert T\vert\vert$ . De même, on déduit de $1=\vert\vert e_n\vert\vert = \vert\vert T^{-1} f_n\vert\vert\le \vert\vert T^{-1}\vert\vert \vert\vert f_n\vert\vert$ que

$$\frac1{\vert\vert T^{-1}\vert\vert} \le \vert\vert f_n\vert\vert \le \vert\vert T\vert\vert\ .$$ (A.3)

Le résultat suivant donne une caractérisation des bases de Riesz.

Preuve: 1 implique 2: supposant que $\{f_n,n\in\Lambda\}$ soit une base de Riesz de $H$ , il existe $S$ , borné, inversible à inverse borné, tel que pour tout $n$ , $e_n =Sf_n$ . Soit $\langle\cdot,\cdot\rangle_1$ défini par

$$\langle x,y\rangle_1 = \langle Sx,Sy\rangle\ ,\quad x,y\in H\ .$$

On vérifie immédiatement que la famille $\{f_n\}$ est orthonormale par rapport à ce produit scalaire. De plus, on a $\vert\vert x\vert\vert _1 = \vert\vert Sx\vert\vert\le \vert\vert S\vert\vert\,\vert\vert x\vert\vert$ , et $\vert\vert x\vert\vert = \vert\vert S^{-1}x\vert\vert _1 \le \vert\vert S^{-1}\vert\vert\, \vert\vert x\vert\vert _1$ . Donc les produits scalaires sont équivalents.
2 implique 3: soit $\langle\cdot,\cdot\rangle_1$ le produit scalaire équivalent; soit $f\in H$ telle que $\langle f,f_n\rangle =0$ pour tout $n$ . Alors, on a $\langle f,f_n\rangle_1=0$ pour tout $n$ , ce qui implique $f=0$ . donc la famille $\{f_n\}$ est complète. Soit maintenant $x\in H$ . On sait que $m \vert\vert x\vert\vert _1 \le \vert\vert x\vert\vert \le M\vert\vert x\vert\vert _1$ , où $m,M$ sont deux constantes indépendantes de $x$ . Si on prend un $x$ de la forme $x=\sum_{n=1}^N c_n f_n$ , alors $\vert\vert x\vert\vert _1^2 = \sum_{n=1}^N \vert c_n\vert^2$ et on a immédiatement la propriété annoncée.
3 implique 1: Soit $\{e_n\}$ une base orthonormée de $H$ . Alors, il existe deux opérateurs linéaires $T,S$ , bornés grâce à (), tels que pour tout $n$ , $e_n =Sf_n$ et $f_n=Te_n$ . Donc $ST$ est l'opérateur identité sur $H$ . Mais la famille $\{f_n\}$ étant complète, $TS$ est aussi l'identité sur $H$ . Donc $T$ est inversible, ce qui conclut la preuve. $\spadesuit$

EXEMPLE A..4  

1. Toute base orthonormée est évidemment une base de Riesz.
2. En dimension finie, toute famille libre est une base de Riesz de l'espace qu'elle engendre.
3. On considère la fonction (``la tente'') de Schauder
   $$\Lambda(t) = \left\{\begin{array}{ll} t&\hbox{ si }t\in [0,1]\\ 2-t&\hbox{ si }t\in [1,2]\\ 0&\hbox{ sinon}\ , \end{array}\right.$$
   et les fonctions $\Lambda_n$ définies par
   $$\Lambda_n(t) = \lambda(t-n)\ ,\quad n\in\mathbb{Z}\ .$$
   Un calcul simple montre que pour tout $n$ , $\Vert\Lambda_n\Vert^2 = 2/3$ , $\langle \Lambda_n,\Lambda_{n\pm 1}\rangle = 1/6$ , et $\langle \Lambda_n,\Lambda_m\rangle=0$ si $\vert m-n\vert>1$ . On considère l'espace $V$ engendré par les limites de combinaisons linéaires finies des fonctions $\Lambda_n$ . Soit $c=\{c_n,n\in\mathbb{Z}\}\in\ell^2(\mathbb{Z})$ , et soit $f=\sum_n c_n\Lambda_n$ . On vérifie que
   $$\Vert f\Vert^2 = \frac2{3}\sum_n \vert c_n\vert^2 + \frac1{6}\sum_n c_n\overline{c}_{n-1} +\frac1{6}\sum_n c_n\overline{c}_{n+1}\ .$$
   On déduit de l'inégalité de Cauchy-Schwarz que
   $$\frac1{3} \sum_n \vert c_n\vert^2 \le \Vert f\Vert^2 \le \sum_n \vert c_n\vert^2\ ,$$
   de sorte que la famille $\{\Lambda_n,n\in\mathbb{Z}\}$ est bien une base de Riesz de $V$ .

REMARQUE A..2   Une base de Riesz possède automatiquement une base biorthogonale (ou base duale) $\{\tilde f_n\}$ , telle que

$$\langle f_n,\tilde f_m\rangle =\delta_{m,n}\ ,$$

qui est également une base de Riesz du même espace. En effet, avec les notations plus haut, considérons l'adjoint $S^*$ de $S=T^{-1}$ , et posons

$$\tilde f_n = S^* e_n\ .$$ (A.4)

Alors on a immédiatement $\langle f_n,\tilde f_m\rangle =\langle ST e_n,e_m\rangle =\delta_{m,n}$ . De plus, pour tous $f\in H$ , on peut écrire

$$f = \sum_n \langle f,\tilde f_n\rangle f_n = \sum_n \langle f,f_n\rangle \tilde f_n\ .$$ (A.5)

Par exemple, en écrivant $T^*f = \sum_n \langle T^*f,e_n\rangle e_n =\sum_n \langle f,f_n\rangle e_n$ , on obtient directement la seconde égalité. La première s'obtient similairement en décomposant $T^{-1}f$ sur la base $\{e_n,n\in\mathbb{Z}\}$ . Le fait que $\tilde f_n,n\in\mathbb{Z}\}$ est une conséquence directe des propriétés de $T^*$ .