Problèmes paraboliques: phénomènes de diffusion

Exemples

L'exemple le plus classique est celui de l'équation de la chaleur (ou équation de Fourier)

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha^2 \Delta u$$ (3.22)

où $\alpha\in{\mathbb{R}}$ est un paramètre, et $\Delta$ représente le Laplacien en espace. L'équation de la chaleur est utilisée dans de nombreux contextes, par exemple pour décrire l'évolution d'un champ de temprérature dans un espace donné, avec une condition initiale donnée. Elle est également utilisée dans de nombreux autres contextes, qui exhibent des comportements de type diffusif.

Comme on l'a vu, le Laplacien mesure la convexité d'une fonction. Si $\Delta u({\underline{x}},t) >0$ , alors $u({\underline{x}},t)$ est inférieure à sa moyenne sur un petit voisinage de ${\underline{x}}$ ; alors $u'_t({\underline{x}},t)>0$ , ce qui va faire augmenter la valeur de $u({\underline{x}},t)$ . Inversement, si $\Delta u({\underline{x}},t) <0$ , alors la valeur de $u({\underline{x}},t)$ va diminuer. Ce type d'équation a donc tendance à moyenner, ou ``lisser'' la solution au cours du temps.

Comme autre exemple d'équation parabolique, on peut notamment mentionner l'équaqion de convection-diffusion, que l'on obtient en ajoutant un terme de convection à l'équation de la chaleur

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha^2 \Delta u - {\underline{V}}\cdot\nabla u\ ,$$

${\underline{V}}$ étant un vecteur (vitesse) fixé.

Les EDP de cette classe peuvent être considérées dans l'espace tout entier, ou dans un domaine borné de l'espace, ce qui donne lieu soit à des conditions au bord, soit des conditions aux limites (dans ce cas on impose en général que la solution tende vers zéro à l'infini). La variable temporelle est en général prise dans ${\mathbb{R}}^+$ , et on complète le problème par des conditions initiales.

Conditions aux bords

Les conditions aux bords les plus faciles à exploiter sont comme souvent les conditions de Dirichlet

$$u({\underline{x}},t) = g(t)\ ,\quad \forall {\underline{x}}\in\partial\Omega\ ,$$ (3.23)

$g$ étant un fonction fixée. Lorsque $g=0$ , on parle de condition au bord homogène.

Il arrive toutefois que les conditions aux bords portent sur le flux, c'est à dire la dérivée normale de la solution sur le bord. On parle alors de condition de Neumann

$$\frac{\partial u}{\partial n}({\underline{x}},t) = g(t)\ ,\quad \forall {\underline{x}}\in\partial\Omega\ ,$$ (3.24)

homogène si $g=0$ .

Les conditions au bord mixtes apparaissent assez couramment, notamment dans les problèmes de conduction de la chaleur, pour lesquels la dérivée normale est proportionnelle à la différence entre la valeur de la solution à l'intérieur du domaine et sa valeur à l'extérieur.

$$\frac{\partial u}{\partial n}({\underline{x}},t) - \lambda u({\underline{x}},t) = g(t)\ ,\quad \forall {\underline{x}}\in\partial\Omega\ .$$ (3.25)

Là encore, la condition au bord est homogène si $g=0$ .

Equation de la chaleur 1D sur un domaine borné

Le champ de température d'une barre conductrice de longueur $L$ fixée, isolée latéralement, est décrit par l'équation de la chaleur (ou équation de Fourier)

$$\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = \alpha^2\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\ ,\quad\alpha\in{\mathbb{R}}$$ (3.26)

à laquelle on ajoute une condition initiale

$$u(x,0) = \phi(x)\ ,$$ (3.27)

$\phi$ étant une fonction fixée, et des conditions aux bords, par exemple de type Dirichlet, Neumann ou Robin.

On recherche en général des solutions par la méthode de séparation des variables, c'est à dire sous la forme

$$u(x,t) = X(x) T(t)\ .$$

Sous cette forme, on se ramène alors à une équation de la forme

$$X(x) T'(t) = \alpha^2 X''(x) T(t)\ ,$$

où encore

$$\frac{T'(t)}{T(t)} = \alpha^2\frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda\alpha^2\ ,$$

$\lambda$ étant une constante de séparation, a priori complexe.

L'équation temporelle conduit directement à

$$T(t) = C e^{-\lambda\alpha^2 t}\ ,$$

ce qui force $\Re(\lambda)>0$ si on se limite à des solutions bornées. Pour ce qui est de l'équation spatiale

$$X''(x) +\lambda X(x) = 0\ ,$$

elle conduit à des solutions de la forme

$$X(x) = A e^{i\lambda^{1/2} x}+ B e^{-i\lambda^{1/2} x}\ .$$ (3.28)

Pour aller plus loin, il faut imposer les conditions aux bords. On se limitera ici aux daux types de conditions aux bords les plus courantes, c'est à dire les conditions de Dirichlet et les conditions mixtes de Robin.

Conditions de Dirichlet homogènes

On impose les deux conditions

$$X(0,t) = X(L,t) = 0\ .$$

Ceci correspond à une situation physique décrite dans la figure : une barre conductrice de la chaleur, dont les deux extrémités sont maintenues à température nulle par un thermostat, et isolée latéralement.

Figure: Barre conductrice, isolée latéralement, dont les deux extrêmités sont à température nulle.

Cette condition au bord conduit à

$$A+B = 0\ ,\quad A e^{i\lambda^{1/2} L}+ B e^{-i\lambda^{1/2} L} = 0\ .$$

La première équation donne $B=-A$ , et la seconde conduit à

$$A \sin\left(\lambda^{1/2}L\right) = 0\ .$$

Si on évite la solution nulle, ceci implique que les seules solutions pour $\lambda$ sont de la forme

$$\lambda = \lambda_n = (\frac{n\pi}{L})^2\ .$$ (3.29)

On obtient donc des solutions à variables séparées de la forme

$$u_n(x,t) = A_n \exp\left\{-(n\pi\alpha/L)^2 t\right\} \sin\left(\frac{n\pi x}L\right)\ ,$$

et plus généralement, l'équation et les conditions aux bords étant homogènes, une solution générale

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty A_n \exp\left\{-\left(\frac{n\pi\alpha}{L}\right)^2 t\right\} \sin\left(\frac{n\pi x}L\right)\ .$$

La dernière étape consiste à trouver les valeurs des constantes $A_n$ . On utilise pour cela la condition initiale, qui prend donc la forme

$$\phi(x) = u(x,0) = \sum_{n=1}^\infty A_n \sin\left(\frac{n\pi x}L\right)\ .$$

Restent à trouver les constantes $A_n$ . Pour cela, remarquons que

$$\int_0^L \phi(x)\sin\left(\frac{m\pi x}L\right)\,dx = \sum_{n=1}^\infty A_n \int_0^L\sin\left(\frac{m\pi x}L\right) \sin\left(\frac{n\pi x}L\right)\,dx$$

$$= \sum_{n=1}^\infty \frac{A_n}{2} \int_0^L \phi(x)\left(\cos\left(\frac{(m-n)\pi x}L\right) -\cos\left(\frac{(m+n)\pi x}L\right)\right)\, dx$$

$$= \frac{L}2\,A_m$$

Par conséquent, les coefficients $A_n$ du développement de la solution s'expriment directement à partir de la condition initiale, et on a

La manière dont on a retrouvé les coefficients $A_n$ peut sembler un peu arbitraire. En fait, elle provient du résultat suivant, qui suggère donc le calcul fait pour retrouver les $A_n$ :

REMARQUE 3.2   Il est utile de revenir en arrière et retracer l'origine de cette base de fonctions. Nous les avons obtenues comme solutions du problème de type Sturm Liouville

$$X''(x) +\lambda X(x) = 0\ ,$$

en imposant des conditions au bord particulières. Or nous avons vu au chapitre  que ces problèmes de Sturm-Liouville fournissent des bases orthonormées d'espaces de Hilbert adaptés aux conditions aux bords choisies. Le lemme ci-dessus se place donc précisément dans ce cadre.

Conditions de Robin homogènes

On considère maintenant le cas des conditions aux bords mixtes. Ce choix se justifie par des considérations physiques. En effet, la loi de Newton précise que le flux de température à l'interface entre deux milieux est proportionnel à la différence de température entre ces deux milieux. De plus, la loi de Fourier spécifie que ce flux est également proportionnel à la valeur du gradient de température à l'interface.

On considère ici la situation décrite dans la figure , d'une barre conductrice isolée latéralement, dont le côté gauche est maintenu à température nulle, et le droit est en contact avec un milieu se trouvant lui aussi à température nulle.

Figure: Barre conductrice, isolée latéralement, dont l'extrêmité gauche est maintenue à température nulle, et la droite se trouve en contact avec un milieu à température nulle

Le calcul de la solution générale est le même que plus haut, jusqu'à l'équation (). On doit maintenant utiliser la condition au bord, que l'on doit cette fois choisir de type Dirichlet à gauche, et mixte à droite

$$u(0,t) = 0\ ,\quad u'_x(L,t) + h u(L,t) = 0$$

La première condition implique comme précédemment $B=-A$ , d'où des solutions de la forme

$$X(x) = A \sin(\lambda^{1/2} x)\ .$$

Comme précédemment, les valeurs possibles de $\lambda$ sont déterminées par la seconde condition au bord, à savoir

$$\lambda^{1/2}\cos(\lambda^{1/2} L) + h \sin(\lambda^{1/2} L) = 0\ ,$$

d'où les valeurs possibles de $\lambda^{1/2}$ sont les solutions de l'équation

$$\mathrm{tg}(\lambda^{1/2} L) = -\frac{\lambda^{1/2}}h\ ,$$ (3.30)

équation qui doit être résolue numériquement. On peut toutefois voir que les solutions $\lambda^{1/2}$ sont les points d'intersection de la droite $t\to -t/h$ (en rouge) avec la courbe $t\to \mathrm{tg}(t L)$ (en bleu) dans la figure . Les valeurs admissibles de $\lambda$ forment donc un ensemble discret $\{\lambda_n,n\in\mathbb{Z}^+\}$ .

Figure: Valeurs propres pour l'équation de la chaleur avec condition au bord mixte: les valeurs de $\lambda^{1/2}$ sont les intersections des deux courbes.

La solution générale du problème considéré est donc de la forme

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty a_n e^{-\lambda_n \alpha^2 t} \sin(\lambda_n^{1/2}x)\ ,$$ (3.31)

(le cas $\lambda_0=0$ ne contribue pas), les coefficients $a_n$ restant à déterminer via la condition initiale. On va pour cela utiliser le lemme suivant

Preuve: Calculons

$$\int_0^L \sin(\lambda_n x)\sin(\lambda_m x)\,dx = \left[-\frac1{\lambda_m}\sin(\lambda_n x)\cos(\lambda_m x)\right]_0^L + \frac{\lambda_n}{\lambda_m} \int_0^L \cos(\lambda_n x)\cos(\lambda_m x)\,dx$$

$$= -\frac1{\lambda_m}\sin(\lambda_n L)\cos(\lambda_m L) + \frac{\lam... ...bda_m}\bigg\{\left[\frac{\sin(\lambda_m x)}{\lambda_m} \cos(\lambda_n x)\right]$$

$$\quad + \frac{\lambda_n}{\lambda_m}\int_0^L \sin(\lambda_n x)\sin(\lambda_m x)\,dx\bigg\}$$

$$= -\frac1{\lambda_m}\bigg\{ \sin(\lambda_nL)\cos(\lambda_mL) - [-h\sin(\lambda_n L)][-\cos(\lambda_m L)/h]\bigg\}$$

$$+ \left(\frac{\lambda_n}{\lambda_m}\right)^2 \int_0^L \sin(\lambda_n x)\sin(\lambda_m x)\,dx$$

$$= \left(\frac{\lambda_n}{\lambda_m}\right)^2 \int_0^L \sin(\lambda_n x)\sin(\lambda_m x)\,dx\ ,$$

d'où il s'ensuit que l'intégrale est nulle pour $\lambda_n\ne\lambda_n$ . Pour ce qui est de l'orthogonalité, il suffit de remarquer que

$$\int_0^L \sin(\lambda_n x)^2\,dx = \frac{L}2 - \frac{\sin(2\lambda_n L)}4\ ,$$

ce qui conclut la preuve. $\spadesuit$

Problèmes inhomogènes: utilisation des bases ``Sturm-Liouville''

Dans le cas où l'équation considérée est inhomogène, il est encore possible d'utiliser des techniques telles que celle que nous venons de voir. Par exemple, prenons le cas de l'équation de la chaleur inhomogène

$$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) = \alpha^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + f(x,t)\ ,$$

$f$ étant une fonction fixée, jouant le rôle de ``source de chaleur'', avec condition au bord de Dirichlet. On peut alors utiliser la base de Sturm-Liouville

$$x\to X_n(x) = \frac1{\sqrt{L}} \sin\left(\frac{\pi n x}L\right)\ ,$$

pour décomposer le terme source

$$f(x,t) = \sum_{n=1}^\infty f_n(t) X_n(x)\ ,$$

et de là développer un calcul similaire au précédent.