Problèmes hyperboliques: phénomènes de propagation

Terminons ce chapitre par une rapide discussion des problèmes hyperboliques, qui décrivent les phénomènes de propagation d'ondes par exemple.

Exemples: corde et poutre

L'exemple le plus simple et classique est celui de l'équation aux dérivées partielles décrivant les vibrations transversales d'une corde de violon (ou piano); si on note $u(x,t)$ la position du point $x$ de la corde à l'instant $t$ , on a

$$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\ .$$ (3.32)

Comme on l'a vu plus haut, cette équation signifie qu'à tout instant $t$ s'exerce au point $x$ une force de rappel proportionnelle à la concavité $\Delta u(x,t)$ de $u$ en $x$ .

Bien qu'il ne s'agisse pas d'une équation du second ordre, l'équation régissant les vibrations d'une poutre

$$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = -\alpha^2\frac{\partial^4 u(x,t)}{\partial x^4}$$ (3.33)

conduit à des solutions possédant des propriétés qualitatives similaires.

Problèmes sans bord: la solution de d'Alembert

Le cas unidimensionnel

Commençons par le cas unidimensionnel en espace. L'équation des ondes () possède des solutions simples. Il s'avère avantageux dans ce cas d'introduire les variables $\xi = x-ct$ et $\zeta = x+ct$ . On a alors

$$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial \xi} + \fr... ...rtial t} = -c \frac{\partial}{\partial \xi} + c\frac{\partial}{\partial \zeta}$$

et

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2} =\frac{\partial^2}{\partial \xi^2... ...l^2}{\partial \zeta^2} - \frac{\partial^2}{\partial\xi\partial\zeta}\right)\ ,$$

de sorte que () est équivalente à l'équation

$$\frac{\partial^2 u}{\partial\xi\partial\zeta} = 0\ .$$

En intégrant une première fois par rapport à $\xi$ , on obtient

$$\frac{\partial v}{\partial\zeta} = a(\zeta)\ ,$$

une fonction ne dépendant que de $\zeta$ . En intégrant cette fois par rapport à $\zeta$ , on obtient finalement

$$v(\xi,\zeta) = f(\xi) + g(\zeta)\ ,$$

d'où la solution de d'Alembert

$$u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)\ .$$ (3.34)

On obtient ainsi deux ondes $f$ et $g$ , se propageant respectivement dans la direction des $x$ positifs (onde progressive) et négatifs (onde régressive). Les fonctions $f$ et $g$ sont déterminées à partir des conditions initiales

$$u(x,0) = \phi(x)\ ,\quad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = \psi(x)\ ,$$

qui conduit au système

$$f(x) + g(x) = \phi(x)$$

$$c (f'(x) - g'(x)) = \psi(x)$$

qui peut ensuite être résolu directement.

Le cas tridimensionnel

Le cas tridimensionnel est plus complexe, commençons par la remarque suivante. On considère l'équation des ondes dans l'espace ${\mathbb{R}}^3$

$$\Delta u({\underline{x}},t) = \frac1{c^2} \frac{\partial ^u}{\partial t^2}(x,t)\ .$$ (3.35)

Cherchons des solutions particulières de la forme

$$u({\underline{x}},t) = f({\underline{x}}-{\underline{v}}t)\ ,$$

${\underline{v}}$ étant un vecteur fixé. On voit facilement que

$$\frac{\partial u}{\partial t} ({\underline{x}},t) = {\underline{v}}\cdot\nabla f({\underline{x}},t)$$

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} ({\underline{x}},t) = \vert{\underline{v}}\vert^2\, \Delta f({\underline{x}},t) = \vert{\underline{v}}\vert^2\,\Delta u({\underline{x}},t)\ ,$$

de sorte qu'un tel $u({\underline{x}},t)$ est bien solution, à condition que

$$\vert{\underline{v}}\vert^2 = c^2\ .$$

Ainsi, la condition obtenue porte uniquement sur la norme du vecteur vitesse, et pas sur sa direction. Ceci laisse beaucoup de liberté, et conduit aux ondes sphériques, comme on va le voir.

Considérons le problème défini par l'équation des ondes () dans l'espace ${\mathbb{R}}^3$ , complété par les conditions initiales

$$u({\underline{x}},0) = \phi({\underline{x}})$$ (3.36)

$$u'_t({\underline{x}},0) = \psi({\underline{x}})$$ (3.37)

pour un couple de fonctions $\phi,\psi$ donné.

Corde vibrante: condition aux bords et résolution

On se place dans le cas unidimensionnel, et on s'intéresse à l'équation

$$\frac{\partial^2}{\partial t^2} u(x,t) = c^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,t)\ ,\quad t\in{\mathbb{R}}^+,\ x\in[0,L]\ .$$ (3.38)

La solution de cette équation peut être utilisée pour décrire un grand nombre de situations physiques différentes, comme par exemple

• des ondes acoustiques (transverses),
• des vibrations dans les solides (longitudinales, transverses ou ondes de torsion),
• des ondes de probabilité en mécanique quantique,
• les vibrations (transverses) d'une corde
• ...

C'est ce dernier exemple qu'on prendra comme illustration.

Conditions au bord

On considère généralement trois types de conditions au bord.

1. Une condition de type Dirichlet, qu'on appelle dans ce cas condition de bords contrôlés
   $$u(0,t) = g_1(t)\ ,\quad u(L,t) = g_2(t)\ .$$

2. Une condition de type Neumann, qui revient à exercer sur les bords des forces fixées
   $$u'_x(0,t) = g_1(t)\ ,\quad u'_x(L,t) = g_2(t)\ .$$

3. Une condition mixte, qui revient à supposer un lien élastique sur les bords
   $$u'_x(0,t) + h_1 u(0,t) = g_1(t)\ ,\quad u'_x(L,t) + h_2 u(L,t) = g_2(t)\ .$$

Résolution du problème de Dirichlet homogène

La méthode de résolution suit fidèlement celle employée pour l'équation de la chaleur. On recherche des solutions sous forme de fonctions à variables séparées

$$u(x,t) = X(x) T(t)\ ,$$

ce qui conduit à deux équations pour les deux fonctions

$$T''(t) = c^2 \lambda T(t)$$ (3.39)

$$X''(x) = \lambda X(x)$$ (3.40)

Suivant les valeurs de $\lambda$ , on sera confronté à divers types de solutions. Dans la mesure où $u(x,t)$ représente la position d'un point d'une corde, il est naturel de se limiter à des valeurs réelles de $\lambda$ . On a donc les trois situations

• Si $\lambda = 0$ , les solutions sont de la forme
  $$u(x,t) = (Ax+B)(Ct+D)\ .$$
  La solution ne sera bornée que si $A=C=0$ , et ne satisfera les conditions au bord que si $B=D=0$ . Reste donc la seule solution nulle $u(x,t)=0$ .
• Si $\lambda=\beta^2 > 0$ , les solutions sont de la forme
  $$u(x,t) = \left(A e^{c\beta t} + B e^{-c\beta t}\right) \left(C e^{\beta x} + D e^{-\beta t}\right)\ ,$$
  et là encore, seule la solution nulle est admissible.
• Si $\lambda=-\beta^2 > 0$ , les solutions sont de la forme
  $$u(x,t) = \left(A e^{ic\beta t} + B e^{-ic\beta t}\right) \left(C e^{i\beta x} + D e^{-i\beta t}\right)\ .$$

Seul le dernier cas de figure convient. En imposant les conditions aux bords, on voit facilement que $D=-C$ ,d e sorte que la solution prend la forme

$$u_n(x,t) = \left(A e^{ic\beta_n t} + B e^{-ic\beta_n t}\right)\sin(\beta_n x)\ ,$$

avec

$$\beta_n = \frac{n\pi}L\ .$$

La solution générale est donc de la forme

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \left(A_n e^{ic\beta_n t} + B_n e^{-ic\beta_n t}\right)\sin(\beta_n x)$$ (3.41)

Pour conclure, il faut maintenant imposer les conditions initiales, que l'on prend de la forme

$$u(x,0) = \phi(x)\ ,\quad u'_t(x,0) = \psi(t)\ .$$

On aboutit alors au système

$$\phi(x) = \sum_{n=1}^\infty \left(A_n + B_n \right)\sin(\beta_n x)$$

$$\psi(x) = \sum_{n=1}^\infty ic\beta_n\left(A_n - B_n \right)\sin(\beta_n x)$$

d'où on déduit, grâce au lemme , le système

$$A_n + B_n = \frac2{L}\int_0^L \phi(x)\sin(\beta_n x)\,dx$$

$$A_n - B_n = \frac2{icL}\int_0^L \psi(x)\sin(\beta_n x)\,dx$$

et de là

$$A_n = \frac1{L}\int_0^L\left(\phi(x) + \frac1{ic}\psi(x)\right) \sin(\beta_n x)\,dx$$

$$B_n = \frac1{L}\int_0^L\left(\phi(x) - \frac1{ic}\psi(x)\right) \sin(\beta_n x)\,dx$$

Cas bi-dimensionnel: la membrane d'un tambour

On se propose ici d'étudier les vibrations d'une membrane de tambour, décrites par une équation des ondes bidimensionnelle. On suppose que le bord de la membrane est un cercle de rayon 1, et on note $u({\underline{x}},t) = u(r,\theta,t)$ la hauteur du point de coordonnées polaires ${\underline{x}}=(r,\theta)$ de la membrane à l'instant $t\in{\mathbb{R}}^+$ . En écrivant le Laplacien en coordonnées polaires, l'évolution de $u$ est décrite par l'équation des ondes

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(r,\theta,t) = c^2\left(\frac{\p... ...,t) + \frac1{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}(r,\theta,t) \right)\ .$$ (3.42)

Cette équation est complétée par la condition au bord

$$u(1,\theta,t) = 0\ ,$$

ainsi que les conditions initiales

$$u(r,\theta,0) = g_1(r,\theta)\ ,\quad u'_t(r,\theta,0) = g_2(r,\theta)\ .$$

On recherche des solutions à variables séparées

$$u(r,\theta,t) = U(r,\theta) T(t)\ ,$$

ce qui conduit au système

$$\Delta U(r,\theta) + \lambda^2 U(r,\theta) =$$ 0 (3.43)

$$T''(t) + c^2 \lambda^2 T(t) =$$ 0 (3.44)

où $\Delta$ est le Laplacien spatial, exprimé en coordonnées polaires.

L'équation temporelle est facile à résoudre, et conduit à des solutions de la forme

$$T(t) = A e^{i\lambda ct} + B e^{i\lambda ct}\ .$$

Considérons maintenant l'équation d'Helmholtz (), complétée par la condition au bord

$$U(1,\theta) = 0\ .$$

On recherche encore une fois des solutions sous forme de fonction à variables séparées

$$U(r,\theta) = R(r) \Theta(\theta)\ ,$$

ce qui conduit aux deux équations

$$r^2 R''(r) + r R'(r) + (\lambda^2 r^2 -n^2) R(r) =$$ 0 (3.45)

$$\Theta''(\theta) + n^2 \Theta(\theta) =$$ 0 (3.46)

où on a pris la constante de séparation égale à $n^2$ .

Il s'agit d'un problème que nous avons déjà rencontré au chapitre . Encore une fois, l'équation angulaire est facile à résoudre, et conduit à des solutions

$$\Theta_n(\theta) = A e^{in\theta} + B e^{-in\theta}\ ,$$

qui impose $n\in\mathbb{Z}^+$ De plus on sait que la solution de l'équation radiale est donnée par les fonctions de Bessel de première espèce et deuxième espèce $J_n(\lambda r)$ et $Y_n(\lambda r)$ . Ces dernières étant non bornées, on a donc des solutions de la forme

$$R(r) = J_n(\lambda r)\ .$$

On doit maintenant imposer la condition au bord $U(1,\theta) = 0$ . Ceci impose

$$J_n(\lambda) = 0\ ,$$

c'est à dire que la constante de séparation $\lambda$ doit être un zéro $\alpha_{nm}$ de la fonction de Bessel $J_n$ . Par conséquent

$$U_{nm}(r,\theta) = \left(A_{nm} e^{in\theta} + B_{nm} e^{-in\theta}\right) J_n(\alpha_{nm} r)\ .$$

Ainsi, la solution générale de notre problème est de la forme

$$u(r,\theta,t) = \sum_{n=0}^\infty\sum_{m=1}^\infty J_n(\alpha_{nm... ...eta}\right) \left(C_{nm}\sin(\alpha_{nm}ct) + D_{nm} \cos(\alpha_{nm}ct)\right)$$ (3.47)

La dernière étape consiste à calculer les constantes à partir des conditions initiales. Le cas général est assez difficile à traiter, on se limitera ici au cas particulier où la condition initiale dépend uniquement de la variable radiale $r$ . En d'autres termes, on considère le cas

$$u(r,\theta,0) = f(r)\ ,\quad u'_t(r,\theta,0) = f(r)\ .$$

Dans ce cas, il est possible de montrer que seuls sont présents les termes faisant intervenir la fonction de Bessel $J_0$ , et on a, en posant $k_m = \alpha_{0m}$

$$u(r,\theta,t) = \sum_{m=1}^\infty J_0(k_m r) \left(C_{m}\sin(k_mct) + D_{m} \cos(k_mct)\right)\ .$$

La condition $u'_t(r,\theta,0)=0$ impose $D_m=0$ , et il reste donc à déterminer les constantes $C_m$ . On écrit pour cela

$$f(r) = \sum_{m=1}^\infty C_m J_0(k_m r)\ ,$$

et on utilise maintenant un résultat obtenu au chapitre précédent, à savoir l'orthogonalité des fonctions de Bessel

$$\int_0^1 r J_n(\alpha_{nm}r)J_n(\alpha_{nm'}r)\,dr = 0 \quad\mathrm{si}\ m'\ne m\ .$$

Dans notre cas, on obtient, après calcul

$$\int_0^1 r J_n(k_mr)J_n(k_{m'}r)\,dr = \frac1{2}\delta_{mm'}\, J_1^2(k_m)\ ,$$

d'où on déduit les constantes cherchées

$$C_m = \frac2{J_1^2(k_m)}\,\int_0^1 r f(r) J_0(k_m r)\,dr\ .$$