Articles de recherche / Research papers


23. The cat-bat map, the figure-eight knot, and the five orbifolds
à paraître aux Matrix Annals

On montre comment passer par chirurgie de Dehn sur des orbites périodiques de la suspension de l'application du chat-chauve-souris sur le tore de dimension 2 à des fibrés unitaires tangents d'orbifolds hyperboliques. Le papier est très visuel.

We show how to pass from the suspension of the cat-bat map on the 2-torus to unit tangent bundles to hyperbolic 2-orbifolds by Dehn surgeries on some short periodic orbits. The paper is very visual
un autre texte (différent, et en français), mais sur un fond assez proche:
La courbe en huit sur les sphères à pointes et le nœud de huit
à paraître aux Actes du séminaire de théorie spectrale et géométrie

On montre que, dans le fibré unitaire tangent d’une orbisphère hyperbolique à points coniques d’ordre 3, 3, 4, le complémentaire du relevé de la plus courte géodésique périodique est homéomorphe au complémentaire du nœud de huit dans la sphère de dimension 3. La preuve repose in fine sur des calculs d’enlacement.

We show that in the unit tangent bundle to the hyperbolic sphere with cone points of order 3, 3, 4, the complement of the lift of the shortest geodesic is homeomorphic to the complement of the figure-eight knot in the 3-sphere. The proof eventually relies on computing some linking numbers.
22. avec Arnaud de Mesmay et Corentin Lunel
Hopf Arborescent Links, Minor Theory, and Decidability of the Genus Defect
accepté à SoCG 2024
arXiv:2312.09094

Calculer le genre tridimensionnel d'un noeud ou entrelacs est maintenant un problème assez bien compris, mais aucun algorithme n'est connu pour les variantes quadri-dimensionnelles. On étudie une classe de noeuds et entrelacs appelés entrelacs arborescents de Hopf, qui sont obtenus comme bords de plombages itérés de bandes de Hopf. On montre que pour de tels entrelacs, les défauts de genre, qui mesurent de combien les genres de dimension 4 diffèrent du genre classique, sont calculables. Notre preuve n'est pas constructive, elle provient du fait que les surfaces de Seifert pour ces entrelacs forment un bon ordre pour une relation de mineur basée sur l'inclusion.

While the problem of computing the genus of a knot is now fairly well understood, no algorithm is known for its four-dimensional variants, both in the smooth and in the topological locally flat category. In this article, we investigate a class of knots and links called Hopf arborescent links, which are obtained as the boundaries of some iterated plumbings of Hopf bands. We show that for such links, computing the genus defects, which measure how much the four-dimensional genera differ from the classical genus, is decidable. Our proof is non-constructive, and is obtained by proving that Seifert surfaces of Hopf arborescent links under a relation of minors defined by containment of their Seifert surfaces form a well-quasi-order.
21. avec Vincent Colin, Umberto Hryniewicz et Ana Rechtman
Generic properties of 3-dimensional Reeb flows: Birkhoff sections and entropy
accepté à Commentarii Mathematici Helvetici
arXiv:2202.01506

On utilise les décompositions en livres brisés pour étudier les flots de Reeb en dimension 3. On montre que si la mesure de Liouville d'une forme non dégénérée peut être approchée par des orbites périodiques, alors il y a une section de Birkhoff pour le flot de Reeb associé. En vertu du théorème d'équidistribution d'Irie, cela implique que l'ensemble des formes de contact dont le flot de Reeb admet une section de Birkhoff contient un ensemble ouvert dense en topologie C^∞. On montre aussi que l'ensemble des formes de contact dont le flot de Reeb a entropie positive est ouvert dense en topologie C^∞.

In this paper we use broken book decompositions to study Reeb flows on closed 3-manifolds. We show that if the Liouville measure of a nondegenerate contact form can be approximated by periodic orbits, then there is a Birkhoff section for the associated Reeb flow. In view of Irie’s equidistribution theorem, this is shown to imply that the set of contact forms whose Reeb flows have a Birkhoff section contains an open and dense set in the C^∞-topology. We also show that the set of contact forms whose Reeb flows have positive topological entropy is open and dense in the C^∞-topology
20. avec Burak Özbağci
Complex vs convex Morse functions and geodesic open books
International Journal of Mathematics 35(3) (2024), 2350110
arXiv:2105.04814  Int. J. Math. website

À partir d'une surface riemanienne et d'une multi-courbe séparante dessus, il y a dans la littérature quatre constructions distinctes de livre ouvert pour le fibré (co)tangent, ayant des saveurs complexes, symplectiques, contact, et dynamiques, respectivement. Nous montrons que les livres ouverts sont en fait isomorphes, que si la surface est de genre positif alors aucun de ces livres ouverts n'est planaiore, et nous déterminons les quelques cas où les pages sont de genre 1.

Suppose that Σ is a closed and oriented surface equipped with a Riemannian metric. In the literature, there are four seemingly distinct constructions of open books on the unit (co)tangent bundle of Σ, having complex, symplectic, contact, and dynamical flavors, respectively. Each one of these constructions is based on either an admissible divide or an ordered Morse function on Σ. We show that the resulting open books are pairwise isomorphic provided that the ordered Morse function is adapted to the admissible divide on Σ. Moreover, we observe that if Σ has positive genus, then none of these open books are planar and furthermore, we determine the only cases when they have genus one pages.
19. avec Sebastian Baader et Livio Liechti
Minor theory for quasipositive surfaces
Essays in Geometry, dedicated to N. A’Campo, ed. A. Papadopoulos, EMS Press (2023).
arXiv:2104.11447  EMS Press website

L'ensemble des surfaces quasi-positives est clos par inclusion incompressible. On montre que l'ordre induit sur les surfaces fibres des tresses positives est presque un bon ordre. Quand on se restreint aux surfaces quais-positives contenant une racine d'un twist complet, on obtient même un bon ordre.

The set of quasipositive surfaces is closed under incompressible inclusion. We prove that the induced order on fibre surfaces of positive braid links is almost a well-quasi-order. When restricting to quasipositive surfaces containing a fixed root of a full twist, we get an actual well-quasi-order
18. avec Vincent Colin et Ana Rechtman
On the existence of supporting broken book decompositions for contact forms in dimension 3
Inventiones Mathematicae 231 (2022), 1489-1539
arXiv:2001.01448   Inventiones website

On montre qu'en dimension 3 toute forme de contact non dégénérée est portée par un livre brisé. Comme application on montre que si M est une variété fermée orientée qui n'est pas graphée, par exemple une variété hyperbolique, alors tout flot de Reeb non dégénéré sur M a entropie topologique positive. De plus on montre que sur toute variété de dimension 3 fermée, tout flot de Reeb non dégénéré a deux ou une infinité d'orbites périodiques, and deux n'est possible que sur une sphère ou un espace lenticulaire.

We prove that in dimension 3 every nondegenerate contact form is carried by a broken book decomposition. As an application we get that if M is a closed oriented 3-manifold that is not a graph manifold, for example a hyperbolic manifold, then every nondegenerate Reeb vector field on M has positive topological entropy. Moreover, we obtain that on a closed 3-manifold, every nondegenerate Reeb vector field has either two or infinitely many periodic orbits, and two periodic orbits are possible only on the sphere or on a lens space.
17. avec Mario Shannon
Almost equivalence of algebraic Anosov flows
arXiv:1910.08457

Deux flots sur deux variétés compactes de dimension 3 sont presque équivalents s'il existe un homéomorphisme du complémentaire d'un nombre fini d'orbites périodiques du premier flot vers le complémentaire d'un nombre fini d'orbites périodiques du second flot qui envoie orbites sur orbites. On montre que tout flot géodésique sur le fibré unitaire tangent d'une orbisurface hyperbolique est presque équivalent à la suspension d'un certain automorphisme linéaire du tore. À l'aide d'un résultat de Minakawa, cela implique que tous les flots d'Anosov algébriques sont deux à deux presque équivalents. On débute l'étude du graphe de Ghys, un analogue du graphe gordien dans ce contexte, en donnant des bornes supérieures explicites pour les distances entre ces flots.

Two flows on two compact manifolds are almost equivalent if there is a homeomorphism from the complement of a finite number of periodic orbits of the first flow to the complement of the same number of periodic orbits of the second flow that sends orbits onto orbits. We prove that every geodesic flow on the unit tangent bundle of a negatively curved 2-dimensional orbifold is almost equivalent to the suspension of some automorphism of the torus. Together with a result of Minikawa, this implies that all algebraic Anosov flows are pairwise almost equivalent. We initiate the study of the Ghys graph ---an analogue of the Gordian graph in this context-by giving explicit upper bounds on the distances between these flows.
16. avec Ana Rechtman
Vector fields and genus in dimension 3
International Mathematics Research Notices 2022 (5) (2022), 3262--3277.
arXiv:1910.03450   IMRN website

Étant donné un flot sur une sphère d'homologie entière de dimension 3, on donne une formule pour la caractéristique d'Euler des surfaces transverses qui ne dépend que de données sur le bord. On illustre cette formule avec plusieurs exemples, en particulier avec des surfaces de petit genre. Comme application on montre que pour les flots dextrogyres avec une mesure ergodique invariante, le genre est un invariant asymptotique d'ordre 2 proportionnel à l'hélicité.

Given a flow on a 3-dimensional integral homology sphere, we give a formula for the Euler characteristic of its transverse surfaces, in terms of boundary data only. We illustrate the formula with several examples, in particular with surfaces of low genus. As an application, we show that for a right-handed flow with an ergodic invariant measure, the genus is an asymptotic invariant of order 2 proportional to the helicity.
15. avec Livio Liechti
Divide monodromies and antitwists on surfaces
arXiv:1910.00851

Un partage sur une orbisurface donne lieu à une fibration du fibré unitaire tangent de l'orbisurface. On caractérise les monodromies associées comme produits d'un antitwist vertical gaucher et d'un antitwist horizontal droitier, pour une certaine décomposition en cylindres de la surface. Les antitwists sont des analogues qui renversent l'orientation des multitwists. Beaucoup de monodromies de partages sont de type pseudo-Anosov et nous donnnons de nombreux exemples. En particulier nous montrons qu'il existe des monodromies de partages dont les dilatations sont arbitrairement proches de 1, and on donne des exemples dont aucune puissance n'est obtenue par les constructions de Penner ou de Thurston. De plus nous obtenons une nouvelle construction d'homéomorphismes pseudo-Anosov en termes d'antitwists.

A divide on an orientable 2-orbifold gives rise to a fibration of the unit tangent bundle to the orbifold. We characterize the corresponding monodromies as exactly the products of a left-veering horizontal and a right-veering vertical antitwist with respect to a cylinder decomposition, where the notion of an antitwist is an orientation-reversing analogue of a multitwist. Many divide monodromies are pseudo-Anosov and we give plenty of examples. In particular, we show that there exist divide monodromies with stretch factor arbitrarily close to one, and give an example none of whose powers can be obtained by Penner's or Thurston's construction of pseudo-Anosov mapping classes. As a side product, we also get a new combinatorial construction of pseudo-Anosov mapping classes in terms of products of antitwists.
14. avec Ana Rechtman,
The trunkenness of a volume-preserving vector field
Nonlinearity 30 (2017), 4089-4110
arXiv:1606.01639   Nonlinearity website  

On construit un nouvel invariant --l'ivresse-- pour les champs de vecteurs préservant le volume sur S^3, à difféomorphisme préservant le volume près. On prouve que l'ivresse est indépendante de l'hélicité et qu'elle est la limite d'un invariant de noeud (le trunk) calculé sur de longs bouts d'orbites.

We construct a new invariant --the trunkenness-- for volume-perserving vector fields on S^3 up to volume-preserving diffeomorphism. We prove that the trunkenness is independent from the helicity and that it is the limit of a knot invariant (called the trunk) computed on long pieces of orbits.
13. avec Marcos Cossarini
Intersection norms on surfaces and Birkhoff sections for geodesic flows
arXiv:1604.06688

Un partage est une collection finie de courbes fermées non orientées en position générique sur une surface réelle. Turaev a associé à tout partage une (semi-)norme sur le premier groupe d'homologie de la surface. La boule unité de la norme duale est l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points entiers, que nous interprétons en fonctions de certaines coorientations du partage original. De plus, un partage se relève dans le fibré unitaire tangent de la surface en un entrelacs (symétrique) et, lorsque le partage est formé de géodésiques, cet entrelacs est formé d'orbites périodiques du flot géodésique. Notre résultat principal est une classification: si la surface est à courbure constante (nulle ou négative) et le partage formé de géodésiques fermées, alors les points entiers à l'intérieur strict de la boule unité duale énumèrent les classes d'isotopie de sections de Birkhoff pour le flot géodésique (sur le fibré unitaire tangent de la surface) dont le bord est l'entrelacs associé au partage. Ces sections de Birkhoff fournissent en particulier des décompositions en livres ouverts du fibré unitaire tangent.

A divide is a finite collection of closed unoriented curves in generic position on a real surface. Turaev associated to every divide a (semi-)norm on the first homology group of the surface. The unit ball of the dual norm is the convex hull of finitely many integer points. We give an interpretation of these points in terms of certain coorientations of the divide. Moreover a divide can be lifted (symmetrically) to a link in the unit tangent bundle to the surface and, when the divide is formed of geodesic curves, its lift is made of periodic orbits of the geodesic flow. Our main result is a classification statement: when the surface has constant curvature and the divide is made of geodesics, integer points in the interior of the unit ball of the dual norm classify isotopy classes of Birkhoff sections for the geodesic flow (on the unit tangent bundle to the surface) whose boundary is the symmetric lift of the divide. These Birkhoff sections also yield numerous open-book decompositions of the unit tangent bundle.
12. avec Sebastian Baader et Livio Liechti
Signature and concordance of positive knots
Bulletin of the London Mathematical Society 50 (2018), 166–173
arxiv:1503.01946   BLS website

On donne une borne linéaire sur la signature des noeuds positifs en terme de leur genre. Comme application on montre que chaque classe de concordance contient un nombre fini de noeuds positifs.

We derive a linear estimate of the signature of positive knots, in terms of their genus. As an application, we show that every knot concordance class contains at most finitely many positive knots.
11. Which geodesic flows are left-handed ?
Groups, Geometry, and Dynamics 11 (2017), 1347-1376
arXiv:1501.02909   GGD website

On prouve que le flot géodésique sur le fibré unitaire tangent d'une orbisurface est lévogyre si et seulement l'orbisurface est une sphère à trois points coniques. Ceci implique que le relevé de toute collection finie de géodésiques fermée sur une sphère à trois pointes est la reliure d'un livre ouvert.

We prove that the geodesic flow on the unit tangent bundle to a hyperbolic 2-orbifold is left-handed if and only if the orbifold is a sphere with three conic points. This implies that the lift of every finite collection of closed geodesics on a 3-conic sphere is the binding of an open book decomposition of the unit tangent bundle.

À cet article est associée la feuille de calcul Sage suivante dans laquelle certains énoncés sont vérifiés numériquement. In the following Sage worksheet, certain lemmas are numerically checked. ComputationsLinkingTpqr.
10. avec Tali Pinsky
Coding of geodesics and Lorenz-like templates for some geodesic flows
Ergodic Theory and Dynamical Systems 38 (2018), 940-960
arXiv:1411.6857   ETDS website

On construit un patron à deux rubans qui décrit la topologie de toutes les orbites périodiques du flot géodésique sur le fibré unitaire tangent d'une sphère à trois points coniques équipée d'une métrique hyperbolique. La construction repose sur l'existence d'un codage à deux lettres particulier pour le flot géodésique sur ces orbifolds.

We construct a template with two ribbons that describes the topology of all periodic orbits of the geodesic flow on the unit tangent bundle to any sphere with three cone points with hyperbolic metric. The construction relies on the existence of a particular coding with two letters for the geodesics on these orbifolds.
9. avec Sebastian Baader
Trefoil plumbing
Proceedings of the American Mathematical Society 144 (2016), 387-397
arXiv:1308.5866   PAMS website

Nous donnons un critère pour qu'un livre ouvert contienne un plombage itéré d'entrelacs de Hopf comme facteur. Comme application, nous montrons que les clôtures de tresses positives sont obtenues par plombage de nœuds de trèfle positifs.

We give a criterion for an open book to contain an n-times iterated Hopf plumbing summand. As an application, we show that fibre surfaces of positive braid knots admit a trefoil plumbing structure.
8. Almost commensurability of 3-dimensional Anosov flows
Comptes Rendus Mathématique 351 (2013), 127-129
arXiv:1302.3812   CRAS website

Deux flots sont presque commensurables si, quitte à retirer à chacun un nombre fini d'orbites périodiques puis à prendre un revetement fini, ils sont topologiquement équivalents. On montre que toutes les suspensions d'automorphismes hyperboliques du tore et tous les flots géodésiques sur les fibrés unitaires tangents des orbifolds hyperboliques sont deux à deux presque commensurables.

Two flows are topologically almost commensurable if, up to removing finitely many periodic orbits and taking finite coverings, they are topologically equivalent. We prove that all suspensions of automorphisms of the 2-dimensional torus and all geodesic flows on unit tangent bundles to hyperbolic 2-orbifolds are pairwise almost commensurable.
7. Genus one Birkhoff sections for geodesic flows
Ergodic Theory and Dynamical Systems 35 (2015), 1795-1813
arXiv:1208.6405   ETDS website

On montre que le flot géodésique sur le fibré unitaire tangent des sphères à trois ou quatre points coniques admet des sections de Birkhoff de genre 1, et on détermine les applications de premier retour associées.

We prove that the geodesic flow on the unit tangent bundle to every hyperbolic 2-orbifold that is a sphere with 3 or 4 singular points admits explicit genus one Birkhoff sections, and we determine the associated first return maps.
6. Geodesic flow, left-handedness, and templates
Algebraic and Geometric Topology 15 (2015), 1525-1597
arXiv:1112.6296   AGT website

On montre que pour toute surface-orbifold de type (2,q,infini) ou (2,3,4g+2), le flot géodésique sur le fibré unitaire tangent est lévogyre. Ceci implique que l'entrelacs formé par toute collection finie d'orbites périodiques borde une section de Birkhoff pour le flot géodésique et forme un entrelacs fibré. Ces résultats accréditent une conjecture de Ghys selon laquelle ces propriétés ont lieu sur toute surface-orbifold qui est une sphère d'homologie. On prouve des résultats similaires pour le tore équipé de la métrique plate. Par ailleurs, on remarque que l'extension naturelle de la conjecture pour des surfaces hyperboliques arbitraires (dont l'homologie est non triviale) est fausse.

We establish that, for every hyperbolic orbifolds of type (2,q,infinity) and for every orbifold of type (2,3,4g+2), the geodesic flow on the unit tangent bundle is left-handed. This implies that the link formed by every collection of periodic orbits bounds a Birkhoff section for the geodesic flow and is a fibered link. These results support a conjecture of Ghys that these properties hold for every 2-dimensional hyperbolic orbifold that is a homology sphere. We also prove similar results for the torus with any flat metric. Besides, we observe that the natural extension of the conjecture to arbitrary hyperbolic surfaces (with non-trivial homology) is false.
annoncé dans  Enlacement entre géodésiques sur une orbifold
Comptes Rendus Mathématique 350 (2012), 77-80 CRAS website
5. On the zeroes of the Alexander polynomial of a Lorenz knot
Annales de l'Institut Fourrier 65 (2015), 509-548
arXiv:1110.4178   AIF website

On montre que les racines du polynome d'Alexander d'un noeud de Lorenz est dans un anneau de la largeur dépend explicitement du genre et de l'indice de tresse du noeud considéré. La preuve repose sur une estimation des exposants de Lyapunov de la monodromie, un difféomorphisme de surface associé.

We show that the zeroes of the Alexander polynomial of a Lorenz knot all lie in some annulus whose width depends explicitly on the genus and the braid index of the considered knot.
complété par  Small dilatation homeomorphisms as monodromies of Lorenz knots
Institut Mittag-Leffler Preprints Series: IML Workshop on Growth and Mahler Measures in Geometry and Topology (2013), 1-9
arxiv:1402.3765   IML website

On montre que les monodromies des noeuds de Lorenz contiennent des familles d'homéomorphismes de petite dilatation.

We exhibit low-dilatation families of surface homeomorphisms among monodromies of Lorenz knots.
4. A billiard containing all links
Comptes Rendus Mathématique 349 (2011), 575-578
CRAS website

On construit un billard tridimensionnel réalisant tout entrelacs comme collection d'orbites périodiques. Plus généralement, étant donné un patron, c'est-à-dire une surface branchée munie d'un semi-flot, on construit un billard dont la collection des orbites périodiques contient celle du patron. R. Ghrist a construit un tel patron contenant tous les entrelacs. On obtient le billard souhaité en appliquant notre construction à son exemple.

We construct a 3-dimensional billiard realising all links as collections of isotopy classes of periodic orbits. For every branched surface supporting a semi-flow, we construct a 3d-billiard whose collections of periodic orbits contain those of the branched surface. R. Ghrist constructed a knot-holder containing any link as collection of periodic orbits. Applying our construction to his example provides the desired billiard.
3. Les nœuds de Lorenz
L'Enseignement Mathématique (2) 57 (2011), 211-280
arXiv:0904.2437   EM website

Cet article est un survol sur les noeuds de Lorenz. On décrit la construction originale et démontre quelques propriétés classiques, en particulier que la cloture d'une tresse positive est un noeud fibré. On décrit aussi la correspondance de Ghys entre noeuds modulaires et noeuds de Lorenz. On démontre deux nouvelles propriétés: selon la correspondance de Ghys, les images des orbites du flot de Lorenz qui forment des noeuds triviaux forment un sous-groupe du groupe des classes, et les images réciproques d'un élément du groupe des classess et de son inverse sont des orbites isotopes.

This article is a survey on Lorenz knots. We describe the original construction, prove several classical properties, in particular the fact that the closure of a positive braid is a fibered knot, and describe Ghys'correspondance between modular knots and Lorenz knots. We also prove two new properties, namely that following Ghys' correspondance, the images of trivial orbits of the Lorenz flow form a subgroup of the class group, and that the reverse images of an element in the class group and of its inverse are isotopic orbits.
À cet article sont associés deux fichiers de données / Associated data files
Atlas des nœuds de Lorenz
Ce fichier a été calculé à l'aide des logiciels Ocaml et Mathematica en 2007. Y sont indiqués tous les nœuds de Lorenz de période combinatoire inférieure ou égale à 21, avec leurs signatures, polynômes d'Alexander et de Jones, et les mots de Lyndon associés (voir mon mémoire de master 2 et l'article Les nœuds de Lorenz pour plus d'explications).
Dictionnaire entre groupe des classes d'idéaux et nœuds de Lorenz
Ce fichier a été calculé à l'aide des logiciels Ocaml et PariGP en 2007. Y sont indiqués tous les groupes de classes d'idéaux de discriminant t^2-4, pour t inférieur à 1648, et les nœuds de Lorenz correspondant aux différentes classes. (voir mon mémoire de master 2 et l'article Les nœuds de Lorenz pour plus d'explications).
2. On the 3-distortion of a path
European Journal of Combinatorics, 29 (2008), 171-178
EJC website

On montre que, pour les plongements d'un chemin de longueur n dans R^2, la 3-distorsion est en ­O(n^{1/2}), et que, pour les plongements dans R^d, la 3-distorsion est en O(n^1/{d-1}).

We prove that, for embeddings of a path of length n in R^2, the 3-distortion is an ­O(n^{1/2}), and that, when embedded in R^d, the 3-distortion is an O(n^1/{d-1}).
1. Composition des tours de cavalier
Quadrature 55 (2005), 31-42

Un tour de cavalier contient huit types de mouvements élémentaires. Nous montrons que les seules restrictions sur le nombre asymptotique de ces mouvements sont les bornes triviales existant pour toute boucle : pour tout choix de proportions compatible avec ces bornes, il existe une suite de tours réalisant asymptotiquement ce choix. On déduit l’existence de tours d’indice arbitrairement grand, ce qui répond positivement à une question de A. Grigis.

A knight’s tour contains eight types of elementary moves. We prove that the only asymptotic constraints on the numbers of moves of each type are the trivial ones: for all proportions compatible with these constraints, there exists a sequence of tours asymptotically achieving these proportions. We deduce a positive answer to the question asked by A. Grigis about the existence of tours with an arbitrarily large index.
annoncé dans  Décompte des mouvements dans un tour de cavalier,  Comptes Rendus Mathématique 336 (2003), 543-548. CRAS website
?. avec Sebastian Baader
Minor theory for surfaces and divides of maximal signatures
arXiv:1211.7348

Nous donnons un critère pour qu'un livre ouvert contienne un plombage itéré d'entrelacs de Hopf comme facteur. On considère l'ordre induit sur les classes d'isotopie de surfaces plongées dans l'espace par la relation "être une sous-surface incompressible". On montre que, restreint aux fibres des entrelacs de partage d'A'Campo, cet ordre n'admet pas d'antichaine infinie. La preuve repose sur un résultat de type Robertson-Seymour pour les graphes coloriés plongés dans le plan. Il en découle que toute propriété stable par mineur est caractérisée par un numbre fini de mineurs interdits. Être de signature égale au premier nombre de Betti est un telle propriété. On exhibe les (deux) mineurs interdits, et déduit une énumération des partages de signature maximale par les diagrammes de Dynkin.

We prove that the restriction of surface minority to fiber surfaces of divides is a well-quasi-order. Here surface minority is the partial order on isotopy classes of surfaces embedded in the 3-space associated with incompressible subsurfaces. The proof relies on a refinement of the Robertson-Seymour Theorem that involves colored graphs embedded into the plane. Our result implies that every property of fiber surfaces of divides that is preserved by surface minority is characterized by a finite number of prohibited minors. For the signature to be equal to the first Betti number is such a property. We explicitly determine the corresponding prohibited minors. As an application we establish a correspondance between divide links of maximal signature and Dynkin diagrams.
In its current form, Lemma 2.3 is false, so that our proof of Theorem A and Proposition B has an important gap. We are unable to fix it yet. Any help is most welcome. Theorem C still holds, since its proof does not rely on Lemma 2.3.

Thèse, mémoires, articles de survol, posters / Thesis, memoirs, posters


HDR:  Flots et surfaces, mémoire d'habilitation à diriger des recherches (en français), soutenue le 13 décembre 2019. 64p.

L’étude des champs de vecteurs en dimension 3 et des flots qu’ils engendrent est une branche des systèmes dynamiques qui utilise de nombreux outils issus de la topologie de petite dimension. Dans mes travaux, et donc dans ce mémoire, je me concentre en particulier sur l’usage des surfaces pour l’étude de tels flots. Le problème principal est la meilleure compréhension possible des sections de Birkhoff —des surfaces coupant toutes les orbites du flot et dont le bord est consti- tué d’un nombre fini d’orbites périodiques— avec pour objectif une classification complète. Cet objectif n’est pas atteint en général, mais on présente différents résultats dans cette direction. Les sections de Birkhoff sont aussi utilisées comme outils. On présente deux applications, d’une part pour la presque équivalence entre flots d’Anosov, et d’autre part pour la construction d’exemples d’homéomorphismes de surface de type pseudo- Anosov. Enfin on donne une autre utilisation des surfaces pour la construction d’invariants de champs de vecteurs avec la construction de deux invariants inspirés de la théorie des nœuds : le tronc pour les champs préservant le volume, et le genre pour les champs préservant le volume et qui sont dextrogyres.
WB. Asymptotic invariants of 3-dimensional vector fields,  Winter Braids Lecture Notes 2: Winter Braids V (Pau, 2015) (2015), exp. no. 2, 19 p.
WBLN website

Dans cet article de survol, on présente quelques constructions de quantités invariantes pour les champs de vecteurs en dimension 3 sous l'action des difféomorphismes préservant le volume. On introduit d'abord l'hélicité, puis on se concentre sur les invariants issus de la théorie des noeuds en suivant la stratégie développée par Arnold. La plupart des invariants construits ainsi sont en fait très proches de l'hélicité, mais on en présente certains qui sont différents. On conclut avec quelques questions ouvertes.

In this survey article, we present several constructions of invariants for 3-dimensional volume-preserving vector fields under volume-preserving diffeomorphisms. After introducing helicity, we focus on invariants constructed using knot theory, following Arnol'd's strategy. Most invariants constructed in this way are actually very close to helicity, but we also present a few that are rather different. We conclude with some open questions.
Thèse:  Invariants topologiques des orbites périodiques d'un champ de vecteurs,  soutenue le 23 juin 2011, sous la direction d'Étienne Ghys. 139p.

Cette thèse se situe à l'interface entre théorie des nœuds, géométrie, et systèmes dynamiques. La première partie traite des sections de Birkhoff pour le flot géodésique sur le fibré unitaire tangent d'une orbifold et de l'entrelacement entre orbites périodiques, la seconde de la répartition des racines du polynôme d'Alexander des nœuds de Lorenz.
Poster:  Linking of geodesics and Birkhoff sections for the geodesic flow,  réalisé en mai 2011 à l'occasion de la conférence SwissKnots 2011, sur l'enlacement entre géodésiques sur les orbifolds.
Mémoire de Master 2:  Les nœuds de Lorenz,  rédigé en août 2007 sous la direction d'Étienne Ghys.
Mémoire de Master 1:  Sur les présentations de SL(n,Z) par générateurs et relations,  rédigé en juin 2005 avec Jérôme Valentin sous la direction de Frédéric Paulin.