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Calcul des variations
M
ATHÉMATIQUE POUR LA
P
HYSIQUE
II
B. Torrésani
Université de Provence
Licence de Physique, L3
Année Universitaire 2006-07, second semestre
Calcul des variations
Dérivation, optimisation
Dérivées partielles
Optimisation
Optimisation sous contrainte
Calcul des variations, équations d'Euler-Lagrange, équation de Beltrami
Equations d'Euler-Lagrange
Equation de Beltrami
Quelques exemples... et contre-exemples simples
Le brachistrochrone
Le Principe de Fermat
L'erreur de Lagrange
Extensions à des cadres plus généraux
Le cas multidimensionnel; exemples de l'équation de Laplace et de l'équation des ondes
Surfaces minimales
Equation de Laplace
Equation des ondes
Fonctionnelles dépendant de plusieurs fonctions
Fonctionnelles de dérivées d'ordre supérieur
Conditions aux bords naturelles
Formalisme Hamiltonien
Calcul des variations sous contrainte
Equations différentielles
Définitions, généralités
Généralités, équations linéaires
Equations homogènes à coefficients constants
Equations homogènes à coefficients constants: variation de la constante
Facteur intégrant pour les équations linéaires du premier ordre
Equations du second ordre, Wronskien
La méthode de Frobenius
Notion de point singulier, théorème de Fuchs
Un exemple: les fonctions de Bessel
Orthogonalité et complétude des fonctions de Bessel
Autres propriétés des fonctions de Bessel
Autre exemple: les polynômes de Legendre
Autres exemples de polynômes orthogonaux
Problème de Sturm-Liouville
Généralités
Propriétés des fonctions propres et valeurs propres d'une équation de Sturm-Liouville
Résolution d'équations différentielles par transformation
Transformation de Fourier
Transformation de Laplace
Equations aux dérivées partielles
EDP du second ordre, classification
Problèmes elliptiques: le Laplacien
Le Laplacien
Conditions aux bords
Conditions de Dirichlet
Conditions de Neumann
Conditions mixtes
Le problème de Dirichlet intérieur en dimension 2 pour l'équation de Laplace
Problème extérieur, problème dans une couronne
Problèmes paraboliques: phénomènes de diffusion
Exemples
Conditions aux bords
Equation de la chaleur 1D sur un domaine borné
Conditions de Dirichlet homogènes
Conditions de Robin homogènes
Problèmes inhomogènes: utilisation des bases ``Sturm-Liouville''
Problèmes hyperboliques: phénomènes de propagation
Exemples: corde et poutre
Problèmes sans bord: la solution de d'Alembert
Le cas unidimensionnel
Le cas tridimensionnel
Corde vibrante: condition aux bords et résolution
Conditions au bord
Résolution du problème de Dirichlet homogène
Cas bi-dimensionnel: la membrane d'un tambour
La transformation de Laplace
Définition et premières propriétés
Propriétés élémentaires
La convolution finie
Propriétés de régularité
La transformée de Laplace est holomorphe
Transformation de Laplace et dérivation
Transformation de Laplace et intégration
Inversion de la transformation de Laplace
La transformation de Laplace bilatérale
Formulaire
Distributions et fonctions de Green
Distributions: définition, propriétés et exemples
Fonctions test et dualité
Distributions sur
Propriétés élémentaires
Produit d'une fonction par une distribution
Distributions paires et impaires
Distributions périodiques
Distributions sur
Dérivation des distributions
Le cas unidimensionnel
Un exemple: la partie principale de
Le cas multidimensionnel
Surfaces fermées dans
Domaines fermés dans
Suites de distributions
Produit de convolution des fonctions et des distributions
Convolution des fonctions
Support d'une distribution
Convolution des distributions
Equations de convolution
Application aux problèmes de valeur initiale
Transformation de Fourier des distributions
Espace de Schwartz et distributions tempérées
Transformée de Fourier des distributions tempérées
Propriétés
Transformation de Fourier et dérivation
Inversion de la transformation de Fourier
Mesure et convergence
Notion de mesure
Convergence
Convergence simple
Convergence uniforme
Convergence en moyenne
Convergence simple presque partout
Espaces fonctionnels
Espaces caractérisant la régularité
Les espaces
,
et
Eléments de théorie de l'intégration
Les espaces de Lebesgue
Relations entre
,
et
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Bruno Torresani 2007-06-26
et
