Licence 3 de Mathématiques de l'Université de Rennes 1, année universitaire 2020/2021
UE Calcul Matriciel (CMA)
Responsable de l'UE : Fabien Priziac
Intervenants : Fabien Priziac (CM et TD groupe 1 : mathématiques pour l'enseignement secondaire), Christophe Mourougane (TD groupe 2 : génie mathématique)
Vous pourrez trouver sur cette page web des informations relatives au module Calcul Matriciel (CMA) de la Licence 3 de Mathématiques de l'Université de Rennes 1 pour l'année universitaire 2020/2021.
Organisation présentiel du module
- Semaine 1 (semaine du 31 août) : CM jeudi matin de 8h à 10h (amphi B, bâtiment 2A), TD jeudi après-midi de 16h15 à 18h15 (salle 308, bâtiment 2A, pour le groupe 1, salle 306 pour le groupe 2)
- Semaines paires : CM lundi matin de 8h à 10h (amphi B), TD mardi matin de 8h à 10h (salle 307 pour le groupe 1, salle 304 pour le groupe 2) et jeudi après-midi de 16h15 à 18h15 (salle 308 pour le groupe 1, salle 306 pour le groupe 2)
- Semaines impaires : CM lundi matin de 8h à 10h et mardi matin de 8h à 10h (amphi B), TD jeudi après-midi de 16h15 à 18h15 (salle 308 pour le groupe 1, salle 306 pour le groupe 2)
Organisation du module à partir de la semaine du 2 novembre
Suite aux restrictions sanitaires, les CM et TD de CMA ont désormais lieu en "distanciel". Tous les étudiants du module ont normalement été inscrits dans la "classe virtuelle"/"équipe" Teams du module CMA (si ce n'est pas le cas pour l'un d'entre vous, il faut me contacter !). Ceci vous permet notamment de vous joindre aux "réunions" ouvertes aux horaires indiqués par l'ENT, dans le "canal correspondant" (CM, TD groupe 1 ou TD groupe 2). Lors de ces séances, on utilise le partage d'écran pour tenter de se rapprocher du présentiel habituel. Sur la page web seront désormais également mis en ligne les copies des "tableaux blancs" des séances.
Examen partiel
L'examen partiel a eu lieu le jeudi 22 octobre de 16h15 à 18h15 dans l'amphi A, sur le créneau habituellement consacré aux séances de TD. Son corrigé est ici.
Modalités de contrôle des connaissances
Il y aura trois types d'évaluations :
- l'examen partiel qui donnera lieu à une note sur 20 (ci-dessous notée P),
- une note de participation en TD de 0, 1 ou 2 points (ci-dessous notée I),
- un examen terminal en décembre qui donnera lieu à une note sur 20 (ci-dessous notée E).
La note finale de l'UE sera le nombre max(E, (E+C)/2) où C:=min(P+I,20).
Travaux dirigés
Vous pourrez trouver ci-dessous les versions numériques des feuilles de travaux dirigés :
Le contenu du cours est largement inspiré par le cours donné lors des années passées par Goulwen Fichou (voir ici) et est en partie couvert par le livre ''Algèbre linéaire'' de Joseph Grifone, d'où seront notamment extraits plusieurs des exemples traités.
Les cours magistraux seront basés sur le support de cours consultable et téléchargeable ci-dessous, qui sera régulièrement mis à jour à fur et à mesure de l'avancée du semestre :
Support de cours
Voici enfin la progression du cours CM après CM, ainsi que les transparents attenants, complétés en cours par des exemples, remarques et démonstrations au tableau :
- Organisation
- Cours du 03/09 : Introduction du chapitre consacré à la dualité linéaire, base duale, matrice de passage d'une base duale à une autre, base antéduale.
- Cours du 07/09 : Annulateur, application transposée. Introduction du chapitre consacré aux espaces euclidiens : produit scalaire, espace euclidien, norme euclidienne associée.
- Cours du 14/09 : Norme euclidienne (inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire), orthogonalité entre deux vecteurs, orthogonal d'un sous-ensemble, orthogonal d'un sev, projection et symétrie orthogonales, bases orthogonales et orthonormales.
- Cours du 15/09 : Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, représentation matricielle du produit scalaire et changement de base, endomorphisme adjoint, endomorphisme orthogonal.
- Cours du 21/09 : Matrice orthogonale, groupe orthogonal, décomposition QR. Introduction du chapitre consacré aux rappels et compléments sur la réduction des endomorphismes. Valeur propre, sous-espace propre, vecteur propre, spectre, polynôme caractéristique, diagonalisabilité.
- Cours du 28/09 : Polynômes d'endomorphismes et polynômes annulateurs, polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton, triangularisabilité, réduction suivant les sous-espaces caractéristiques des endomorphismes triangularisables.
- Cours du 29/09 : Blocs de Jordan et réduction sous la forme de Jordan des endomorphismes triangularisables.
- Cours du 05/10 : Introduction du chapitre consacré à l'exponentielle de matrices : norme de matrices, définition de l'exponentielle de matrices, premiers exemples.
- Cours du 12/10 : Propriétés de base de l'exponentielle de matrices, calcul de l'exponentielle de matrices via la réduction de Jordan, résolution des systèmes différentiels linéaires à l'aide de l'exponentielle de matrices.
- Cours du 13/10 : Introduction du chapitre consacré à orthogonalité et réduction, diagonalisabilité dans une base orthonormale des endomorphismes et matrices symétriques, matrices symétriques positives et définies positives, racine carrée d'une matrice symétrique positive.
- Cours du 19/10 : Décomposition polaire, réductibilité des endomorphismes orthogonaux.
- Cours du 02/11 : Démonstration de la réductibilité des endomorphismes orthogonaux. Introduction du chapitre consacré aux normes matricielles subordonnées et au rayon spectral, notion de norme matricielle (les "tableaux blancs" du cours sont ici et ici).
- Cours du 03/11 : Normes matricielles subordonnées, définition du rayon spectral.
- Cours du 16/11 : Norme subordonnée à la norme euclidienne et rayon spectral, convergence de la suite des puissances successives d'une matrice vers la matrice nulle et rayon spectral, conditionnement (le "tableau blanc" du cours est ici).
- Cours du 17/11 : Introduction du chapitre consacré aux matrices stochastiques et aux théorèmes de Perron-Frobenius, notions de matrice stochastique et vecteur stochastique, matrices positives, strictement positives, primitives, irréductibles, théorème de Perron (le "tableau blanc" du cours est ici).
- Cours du 23/11 : Théorème de Frobenius, matrices stochastiques et primitives, calcul du vecteur d'état limite d'une matrice stochastique et primitive (le "tableau blanc" du cours est ici).
- Cours du 30/11 : Introduction du chapitre consacré à la résolution des systèmes linéaires et aux décompositions LU et décomposition de Cholesky, méthode du pivot de Gauss pour la résolution de systèmes linéaires, décomposition LU (le support pdf du début du chapitre 8 est ici).
- Cours du 04/12 : Preuve du théorème de décomposition LU, décomposition PLU, décomposition de Cholesky (le support pdf du chapitre 8 est ici).