mise à jour le  30/10/2021

Généralités

• Date et Ville de naissance : 6 Août 1961, NAPLES Italie
  
• Nationalités : Italienne et Française
  
• Famille: Marié avec Victoria Paolantoni (de nationalité Française), un enfant.
  
• Adresses:
  -- Bureau : CMI, Centre de Mathématiques et Informatique - Technopôle de Château-Gombert
  Université de Aix-Marseille I
  39, Rue F. Joliot-Curie, 13453, Marseille -- FRANCE
  Tel: 00-33-(0)4 13 55 14 53 -- Fax: 00-33-(0)4 91 11 35 52
  
• E-mail : claudio.murolo@univ-amu.fr
  
• Travail : Maître de Conférences auprès de I2M : Institut de Mathématiques de Marseille --  CNRS,  UMR 7373  de l'Université d' Aix-Marseille (titulaire)
  
• Diplômes :
  Laurea Italienne (1985 : 110/110 avec Félicitations du Jury) ;
  Agrégation Italienne en Mathématiques (1986 : rang 4e) ;
  Doctorat Française (1997: Très Honorable avec Félicitations du Jury).

Curriculum Vitae de Claudio Murolo

1979: Baccalauréat obtenu au lycée scientifique Galileo-Galilei (note 56/60).

1980-84: D.E.U.G, Licence, Maîtrise obtenus à l'Université de Naples avec Félicitions du jury

1985: D.E.A à l'Université de Naples (obtenu avec félicitations du jury).

Titre du mémoire: ``Homologie et Objets de Whitney'', 76 pages.

1986: Bourse d'études I.N.d.A.M, Institut National de Hautes Mathématiques.(4eme au concours national).

1987: Renouvellement de la bourse de l'I.N.d.A.M.

Juin 1987: Agrégation (classé 4eme au concours national).

1988: Professeur au Lycée Scientifique de Naples "Carlo Miranda". Titularisation en fin d'année.

1989: Seconde année d'enseignement au Lycée. Demande d'un congé non rétribué afin de reprendre l'activité de recherche.

1990: Bourse d'études de recherche du C.N.R, (Centre National des Recherches), (4eme classé au concours national) et congé du Lycée.

Juillet 1990: Réussite au concours de Chercheur à l'Université de Naples, en Topologie (classé 1er).

1991: Enseignement à l'Université (voir activité d'enseignement).

1992: Enseignement à l'Université (voir activité d'enseignement).

Septembre 1992 : Premier contacte David Trotman afin de poursuivre des recherches à l'Université de Provence pour démontrer un théorème de transversalité stratifiée qui généralise et améliore un théorème de transversalité stratifiée de M. Goresky (1981, Trans. Amer. Math. Soc.) et étudier son utilisation pour la résolution de la conjecture de Goresky sur la bijectivité de l'application de representation homologique R : WHk (X) --> Hk(X) en homologie de Whitney.

1993: Transfert à l'Université de Provence et inscription en thèse (sous congé de l'Université de Naples).

1994: Bourse du C.N.R (classé 4eme au concours national).

Étude de problèmes de : cellularisation et triangulation (b)-régulières de stratifications de Whitney

1995: Renouvellement de la bourse de recherche du C.N.R.

Titularisation en tant que chercheur, après évaluation par une commission nationale de professeurs italiens, de l'activité\é de recherche développée.

1995-96, 1996-97, 1997-98, 1998-99 :

Septembre-Mars : Enseignement à l'Université de Naples (voir activité d'enseignement)

Avril-Aout : Retour à l'Université de Provence pour reprendre les recherches de Thèse.

OCTOBRE 1997 : Doctorat de Mathématiques de l'Université de Provence, soutenu le 8 Octobre

(mention : ``Très Honorable avec Félicitions du Jury'').

Jury:

Titre de la thèse ``Semidifférentiabilité, Transversalité et Homologie de Stratifications Régulières''.

Directeur de thèse: David Trotman, professeur à l'Université de Provence.

Rapporteurs : Andrew du Plessis (Professeur, Université de Aarhus) et Clint McCrory (Professeur Université de Géorgie).

Président : Le Dung Trang (Directeur de Recherche du CNRS, Marseille)

Examinateurs : Karim Bekka (Maître de Conférence à l'Université de Rennes), Jean Paul Brasselet (Directeur de Recherche du CNRS, Institut de Mathématiques de Luminy), Denis Cheniot ( Maître de Conférence à l'Université de Provence), Robert MacPherson (Professeur à l' Institut Advanced Study, Princeton).

2000--> : Depuis 01-09-2000, Maître de Conférences auprès du CMI Centre de Mathématique et Informatique de l'Université de Provence in Marseille.

2002: Titularisation en tant que  Maître de Conférences à l'Université de Provence.

Aout 2002 : Reclassé au 5e  échelon de la classe normale du corps des maîtres de conférences, avec une ancienneté de 1 an 1 mois et 20 jours, compte tenu de 9 ans 7 mois et 20 jours de services accomplis en qualité de Chercheur-Enseignant en Italie.

2007 :  Promu au 7e  échelon de la classe normale des Maîtres de Conférences

2012 : Promu par le CNU-25 à la Hors Classe des Maîtres de Conférences. L’UFR-Maths-Info-Meca avait proposé cette la promotion déjà en 2009-10 et  en 2010-11

2019 : Promu à la Classe Exceptionnelle des Maîtres de Conférences.

Liste des Publications et Preprints de Claudio Murolo

C. Murolo, Whitney Homology, Cohomology and Steenrod Squares,

Ricerche di Matematica, Vol XLIII fasc. 2, (1994) 175-204

C. Murolo, The Steenrod p-powers in Whitney Cohomology,

Topology and its Applications, Vol 68, (1996), 133-151.

C. Murolo, Semidifférentiabilité, Transversalité et Homologie de Stratifications Régulières,

Thèse de Doctorat de l'Université de Provence, Marseille, 8 Octobre 1997, 176 pages

Intr	Chap1	Ch.2	Ch.3	Ch.4

C. Murolo and D. Trotman, Semidifferentiable Stratified Morphisms,

C. R. Acad. Sci. Paris, t 329, Série I, p. 147-152, 1999.

C. Murolo and D. Trotman, Horizontally-C¹ Stratified Maps and Thom's First Isotopy Theorem,

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 707-712, 2000.

C. Murolo et K. Bekka, Homologie d'Espaces Stratifiés,

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 331, Série I, p. 703-708, 2000.

C. Murolo and D. Trotman, Relèvements Continus de champs de Vecteurs,

Bull. Sci. Math., 125, 4 (2001), 253-278.

C. Murolo, Diffeomorphisms lying in one parameter groups and lifting of stratified homeomorphisms,

Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2001), 130, 333-341.

C. Murolo, D. Trotman A. du Plessis, Stratified Transversality by Isotopy,

Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), no. 12, 4881--4900.

C. Murolo, A. du Plessis, D. Trotman, Stratified Transversality by Isotopy via time-dependent vector fields,

J. London Math. Soc. ( 2) 71 (2005) p. 516-530

C. Murolo and D. Trotman, Semidifférentiabilité et Version Lisse de la conjecture de fibration de Whitney,

Proceedings of 12th MSJ-IRI symposium, Singularity Theory and Its Applications, Advanced Studies in Pure Mathematics 43, 2006, pp. 271-309

C. Murolo, A Survey on Stratified Transversality,
on "SINGULARITY THEORY", Proceedings of the 2005 Marseille Singularity Scool and Conference, Dedicated to Jean-Paul Brasselet on is 60th Birthday January 24th - February 25th 2005 - CIRM, Marseille, France, World Scientific, 2007, pp 761-785.

C. Murolo, D. Chéniot, N. Dutertre, A. Pichon, D. Trotman, Singularity Theory,
Proceedings of the 2005 Marseille Singularity Scool and Conference, Dedicated to Jean-Paul Brasselet on is 60th Birthday,  January 24th - February 25th 2005 - CIRM, Marseille, FRANCE, World Scientific, t2006, 1084 pages.

Cover Book


Introduction

C. Murolo, Whitney Stratified Mapping Cylinders

Proceedings of Singularities in Aarhus, 17-21 August 2009, in honor of Andrew du Plessis on the occasion of his 60th birthday,

Journal of Singularities, Volume 2 (2010), 143-159, 

to the Journal

C. Murolo, K. Bekka, N. Dutertre, A. du Plessis, S. Simon, G. Valette,

Proceedings on Geometry and Topology of Singular Spaces, Oct. 29-Nov. 2, 2012, in honour of David Trotman for his 60th birthday, CIRM - 2012 - Luminy- Marseille, France,
Journal of Singularities, Vol. 13 (2015).

to the Journal

C. Murolo, Stratified Submersion and Condition (D)
Proceedings on Geometry and Topology of Singular Spaces, Oct. 29-Nov. 2, 2012, in honour of David Trotman for his 60th birthday, CIRM - 2012 - Luminy- Marseille, France,

Journal of Singularities, Vol. 13 (2015), 179-204.

to the Journal

C. Murolo and D. Trotman, A. du Plessis, 

On the Smooth Whitney Fibering Conjecture,   Article soumis  (2017), 66 pages

to Hal

C. Murolo et D. Trotman,

Whitney Cellularisation of Whitney Stratified Sets and the Goresky Homology Conjecture

Article Soumis (2019), 35 pages,

to Hal

C. Murolo et D. Trotman,

Triangulation de Whitney d'une stratification de Whitney,  Article en cours, 11 pages.

C. Murolo et K. Bekka,

Homology of Stratified Spaces structured by the Transverse Sum,

Preprint, 29 pages (p. 129-158 du Chap IV de ma thèse).

Au preprint

C. Murolo,

Cohomologie d'Espaces Stratifiés  Preprint, 29 pages (p. 129-158 du Chap IV ma thèse).

Au preprint

C. Murolo, A theorem about vector fields on non-compact manifolds,

preprint de l'Università di Napoli,, 1991, 7 pages.

C. Murolo, Homology Cobordism Bundles with Z₂-action,

Manuscrit, 49 pages.

Exposées de Claudio Murolo

Smooth Whitney fibering conjecture II. Main details of the proofs,

Conférénce  Géométrie Lipschitz des singularités,  Marseille, France, Novembre 2017

Une preuve de la version lisse de la Conjecture de Fibration de Whitney

Université d’Aix-Marseille - Octobre 2016

Stratified Submersion and Condition (D)

International Symposium "Singularity in Aarhus", Aarhus University, Danemark , August 2009

Transversalité Stratifiée et Homologie Stratifiée,

Université de Chambery, Juin 2008

Semidifferentiability and the Whitney fibering conjecture,
International Symposium "Ensembles et Morphismes Stratifies"

CIRM, Centre Internationale Rencontre Mathematiques, Luminy, Marseille, June 2004

Stratified Transversality by isotopy,

International Symposium in "Singularity Theory and Application", Hokkaido University, Sapporo - Japan , Septembre 2003

Stratified Transversality via one parameter groups,

International Congress on Mathematical Physics ``Recent Trends in Dynamics 2003'', Porto, Juillet 2003

Transversalité Stratifiée via les groupes à un paramètre

C.M.I. de l' Université de Provence, Marseille, Mars 2003.

Transversalité Stratifiée via les champs de vecteur dependent du temps

C.M.I. de l' Université de Provence, Marseille, Avril, 2000.

Transversalité Stratifiée via Isotopie et Homologie Stratifiée

Séminaire Sud-Rhodanien 2000 :Géométrie et Topologie des Espaces Stratifiés Réels, Avignon, Mars 2000

Homology of Stratified Spaces Structured by the Transverse Sum,

International Workshop on Singularity Theory, University of Warwick, June 1999.

Applications horizontalement-C¹ et premier théorème d'Isotopie de Thom,

Université de Provence, Marseille, Novembre 1996.

Semidifferentiability and the Whitney fibering conjecture,

European Singularity Network , Workshop on Singularity Theory ,Liverpool, Aout 1996.

Semidifférentiabilité et la conjecture de fibration de Whitney,

Université de Rennes, Rennes, Mai 1996.

Triangulation d'ensembles stratifiés abstraits (d'après Goresky),

Rencontre Nice-Marseille des Singularités, Guillestre, Mai 1994.

Whitney Homology, Cohomology and Steenrod p-Powers

I.C.M. 94, International Congress of Mathematicians, poster Communication, Zurich, Aout 1994.

Homologie et Cohomologie de Whitney et p-Puissances de Steenrod,

Rencontre Nice-Marseille des Singularités, Nice, June 1993.

L'homologie et la cohomologie de Whitney II,

Université de Provence, Marseille, Mars 1993.

Homologie et cohomologie de Whitney et p-puissances de Steenrod,

Université de Rennes, Rennes, Mars 1993.

L'homologie et la cohomologie de Whitney I,

Université de Provence, Marseille, Février 1993.

Organisation de Colloques et Mini-Cours de Claudio Murolo 

C. Murolo  et C. Plenat :

Singularity Theory and Regular Stratifications, Oct. 29-Nov. 1, 2021, in honour of David Trotman for his retirement and his 70th birthday, FRUMAM - 2021 - Marseille, France,

Le colloque a été réalisé de manière mixte en presentiel (malgré la situation sanitaire Covid-19 problèmatique) et diffusé via Zoom par visio-conferences et par reception d'autres visio-conférences distantes via Zoom

La Conférence a accueilli au total 75 participants inscrits.
Voici l' affiche du colloque (pdf) :

Planning of the Talks  et (*) :  Talks via ZOOM

	8h30- 9h00	9h00- 9h50	9h50- 10h40	10h40- 11h00	11h00- 11h50	11h50- 14h00	14h00- 14h50	14h50- 15h40	15h40- 16h10	16h10- 17h00	17h00- 17h50
29-Sept				Café		13h30 Accueil	J-P. Brasselet: David et les Stratifications	B. Teissier(*): Stratifications de Whitney et formule de Plücker	Café  et Gouter	N. Nguyen: Link criterion for Lipschitz Normal Embedding of definable sets	M. Ruas (*): On the multiplicities of families of non-isolated hypersurface singularities
30-Sept	Café Boissons et Viennoiseries	S. Trivedi(*): Transversality and its relation to regular stratifications in smooth, complex and o-minimal setting	L. Paunescu(*): Arc-Wise Analytic Stratifications Whitney Fibering Conjecture and Zariski Equisingularity	Café	K. Kurdyka: Subanalytic curve-analytic function is actually analytic	T. Gaffney: The theory of integral closure and C, B, Delta and A_f	A. Parusinski: Algebraic Stratified General Position and Transversality	Café  et Gouter	C. McCrory(*): The intrinsic stratification of a semialgebraic set
01-Oct	Café Boissons et Viennoiseries	L. Wilson(*): On the t^r    condition	H. Hamm(*): Holomorphic mappings and Milnor fibrations Holomorphic functions	Café	D-T Lê : Condition de Thom pour une stratification	Repas	N. Dutertre: Principal kinematic formulas for germs of closed definable sets	G. Comte: Invariants additifs  en géométrie définissable	Café  et Gouter	A. Valette(*): On Sobolev spaces of bounded subanalytic sets	19h-22h: Repas Final Restaurant : LES ARCENAUX

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C. Murolo (organisateur referent du CIRM), K. Bekka, N. Dutertre, A. du Plessis, S. Simon, G. Valette,

Proceedings on Geometry and Topology of Singular Spaces, Oct. 29-Nov. 2, 2012, in honour of David Trotman for his 60th birthday, CIRM - 2012 - Luminy- Marseille, France,

Les Actes de la Conférence ont été publiés par  Journal of Singularities, Vol. 13 (2015).
La Conférence a accueilli 76 participants,

J'ai été aussi préparateur de l'affiche du colloque (pdf) :

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Co-organisateur avec J-P Brasselet, D. Cheniot, N. Dutertre, A. Pichon, D.Trotman de la

Session Résidentielle de Singularités janvier-fevrier 2005 :

Affiche en pdf

``5 Weeks on Singularities'', CIRM, Luminy, Marseille, 24/01/05 - 25/02/2005.

Semaine I, 24-28/01 : Winter School : Introductory Courses on Singularity Theory
Semaine II, 31/01-04/02 : General Conference on Singularities
Semaine III, 07-11/02 : Applications of Singularities
Semaine IV, 14-18/02 : Young Singularists
Semaine V, 21-25/02 : Geometry and Topology of Singularities.

Les Actes de la Session Résidentielle ont été publiés par World Scientific.dans un tome de plus de 900 pages
La Session Résidentielle de Singularités a accueilli 210 participants,
a été parrainée par la FRUMAN : ``Fédération de Recherche des Unités de Mathématiques de Marseille'' et
financée (pour environ 100.000 Euros) par la Formation Permanente du CNRS, les Laboratoires (IML et LATP), les Universités d'Aix-Marseille I et II, le Conseil Général, la Ville de Marseille et le M.E.N.S.R.
J'ai été co-responsable avec N. Dutertre de l'organisation totale de la Semaine IV.
J'ai été aussi préparateur de l'affiche du colloque

Oganisation totale (avec N. Dutertre) de la semaine IV de conférences, Young Singularists, comprenant le choix, l'invitation des conférenciers, l'organisation des conférences et les processus de publications (choix et correspondance avec les referees puis avec l'éditeur etc . . .) des articles relatifs à cette semaine de conférences.

Organisation de mini-cours : ``Variétés Toriques et Classes Caractéristiques'',
tenu par J.-P. Brasselet à l'Université de Naples en Juin 2000.

Organisation de mini-cours : `Introduction à la Théorie des Singularités''
tenu par Lê Dung Tràng, à Université de Naples en Mai 1998.

Collaboration à la rédaction des Actes du Colloque Hawai-Provence de 1990:
Vol. I : Singularities of maps and differential equations, Hermann - Travaux en Cours, vol. 54, 1997, 124 pages (éditeurs, D. Trotman, L. Wilson).
Vol. II : Stratifications and topology of singular spaces, Hermann - Travaux en Cours, vol. 55, 1997, 107 pages (éditeurs, D. Trotman, L. Wilson).

Responsabilités de Formation et Recherche

Membre titulaire de la Commission CNU-25 séction deux mandats (2011-2015 et 2015-2019)

Membre du Conseil de Département de Mathématique, de l'Université d'Aix-Marseille (AMU) (2012-16 ).

Membre de l' I2M : Institut de Mathématiques  de Marseille  (depuis 2012).

Correspondant TICE-CIPE pour l'UFR-Sciences (2014-16,  à disposition benevole depuis)

Membre de l'Equipe pédagogique du Centre de  Télé-Enseignement Science (CTES) de AMU  (2012-15).

Membre du Conseil de l'UFR-MIM, 2008-12.

Membre du Bureau de l'UFR,-MIM, 2008-12

Membre de la Commission Recherche de l'UFR, 2008-12

Membre du Bureau du CTES ( Centre Télé-Enseignement Sciences) de l'Université de Provence (2005-13)

Membre du Conseil de l'UFR-Maths-Info-Meca (MIM, 2004-12)

Membre de la Commission d'Enseignement de l'UFR-MIM (2001-2005).

Membre du Conseil de LATP de l'UMR 6632 (2000-04)

Membre de la Commission des Specialistes de la section 25 du LATP ( 2003 - 12)

Créateur du projet et Responsable da la mise en route de la formation Master II par TE en 2012 en Maths-Fondamentales (20 inscrits en 2018-19) et EDP-CE et Proba-Stats (26 inscrits en 2018-19)

Responsable de Formation et Président de Jury de  L1-L2-L3 et Master-Maths par TE (2007-13 )

Responsable de Formation et Président de Jury de L3 et Master I et II par Télé-Enseignement (2013-15)

Responsable de Formation et Président de Jury de Master I et Master II par Télé-Enseignement (2014-21)

Responsable de la Page Web de l'Equipe de Topologie et Singularités du LATP (2001-04)

Responsable de la Page Web de l'Equipe de Mathématiques Fondamentales du LATP (2004-07)

Responsable de la création et de la mise à jour de la Page Web :(2001-10)

Adresses et E-mails des Chercheurs en Théorie des Singularités dans le monde

Membre du Jury de Thèse de:

Saurabh Trivedi : "Sur les stratifications réelles et analytiques complexes (a)-régulières de Whitney et Thom" (2013)

Guillaume Valette : "Détermination et stabilité du type métrique des singularité" (soutenue le 30 Juin 2003).

Président de Jury de Baccalauréat
Lycée Jean Perrin Marseille, pour l'A.S. 2000-01
 Lycée  Notre Dame de Psion, Marseille, pour l' A.S. 2006-07)

Séminaires-Rencontres avec les Lycéens pour la "Fête de La Science"
(pour les A.A. 2000-01, 2001-02, 2002-03 )

Activité d'Enseignement de Claudio Murolo

1987-89 : Enseignement en tant qu'Agrégé dans Lycée Scientifique à Naples.

1989-90: Pas d'enseignement : Bourse du C.N.R. (et congé du Lycée).

1990-93: Enseignement en tant que Chercheur Universitaire titulaire à la Faculté d'Ingénieurie de l'Université de Naples.

Collaboration au développement d'un cours de ''``Géométrie'' en première année de D.E.U.G avec ses examens.

Charge totale d'un cours de ``Mathématiques et Biostatistiques'' à la ``Faculté de Pharmacie''.

1993-95: Pas d'enseignement. Bourse du C.N.R. et poursuite d'une Thèse de Doctorat à l'Université de Provence à Marseille.

1995-99 : Reprise de l'enseignement à la Faculté d'Ingénieurie de Naples :

Charge totale d'un cours de ``Géométrie et Algèbre'' de la première année de D.E.U.G (100 heures, 200-300 étudiants).

Charge partielle d'un deuxième cours de ``Géométrie et Algèbre'' en 1998 et 1999.

Responsabilité de l'organisation et de la préparation des sujet d'examen des cours de `Géométrie et Algèbre''de la Faculté.

Rédaction de polycopies de ``Géométrie Affine et Euclidienne'' pour tous les cours de `Géométrie et Algèbre'' de la Faculté d'Ingénieurie en 1998-99.

2000-2004: Enseignement en tant que Maître de Conferences auprès du C.M.I. Centre de Mathématique et Informatique de l'Université de Provence in Marseille :

TD de Topologie-Analyse (69h LICENCE de Mathématiques), collaboration à la préparation de tous les sujets d'examens

TD de Géométrie-Topologie (39h TD, MAÎTRISE de Mathématiques), collaboration à la préparation des sujets d'examens

CM+TD de Algèbre et Arithmétique (28h , DEUG de Mathématiques), responsabilité complète

CM+TD de Introduction à l'Analyse (43h, DEUG - SV), responsabilité complète

Direction de 5 étudiants en Mémoires de TER : "Travaux Enseignement et Recherche" (12h + 12h - MAÎTRISE) :

-- 1er TER : "Dualité de Poincaré"

-- 2ème TER : "Le Cobordisme de Thom"

Président de Jury de Baccalauréat "Lycée : Léon Perrin

2004-2005: Pas d'enseignement.

1er Semestre : en delegation du CNRS ,  2eme semesetre : en CRCT attribué par le CNU

2005-2008:

Préparation à l'Oral du CAPES - Algèbre (52h)

CM+TD de Algèbre et Arithmétique (46h , DEUG de Mathématiques), responsabilité complète

CM+TD de Calucul Différentiel 1 (46h, DEUG de Mathématiques), responsabilité complète

CM+TD de Algébre Linéaire II (46h, DEUG), responsabilité complète

2008-12 : 

Préparation à l'Oral du CAPES pour l'Algèbre (52h)

CM+TD de Mathématiques Générales 2 (L1, 75h),

CM+TD Mathématiques pour l'Informatiques (L3, 50h)

CM+TD de Topologie 1 (M1, 30h)

T.E.R. : Direction de 3 étudiants, (Master 1 Mathématiques) :
Homologie Singulière et Applications à la preuve de Théorèmes Fondamentaux

2012-15 :

CM+TD  de Géométrie et Arithmétiques 2 (L2, 36h)

CM+TD de Mathématiques Discrètes (72h, L3)

CM+TD de Topologie (36h, M1)

CM+TD de Topologie Algébrique (M2, 36h)

2015-18 :

CM+TD  de Géométrie et Arithmétiques 2 (L2 36h)

CM+TD : Structures Algébriques (L3 36h)

CM+TD de Topologie (36h M1)

CM+TD de Topologie Algébrique (M2, 36h)

T.E.R. : Direction de 4 étudiants, (M1, 16h) :  Le Théorème de classification des surfaces compactes

2018-21:

CM+TD  de Algèbre  2 (L2 36h)

CM+TD de Géo-Diff & Topologie (36h M1)

CM+TD de Maths-en-TE 1 : Topologie Différentielle  (24h, M1)

CM+TD de Topologie Algébrique ( 48h, M2)

Direction de Mémoire-M2 : Homology, Bordism & Stiefel-Whitney Numbers  (M2, benevole, 0h)
Direction de Mémoire-M2 : Whitney stratification of sets definable in the structure R-Exp (M2, benevole, 0h)

2021-24:

CM+TD de Algèbre et Arithmétique  (72h M1)

CM+TD de Maths-en-TE 1 : Topologie Différentielle  (48h, M1)

CM+TD de Topologie Algébrique  (48h, M2)

Direction de Mémoire-M2 : Homology, Bordism & Stiefel-Whitney Numbers  (M2, benevole, 0h)

Résumés des Publications de Claudio Murolo

Whitney Homology, Cohomology and Steenrod Squares

Claudio Murolo

In 1985 (Trans. Amer. Math. Soc.) Goresky proved that,for a Whitney object X, there is a bijection R^k : WH^k(X) -- > H^k(X) where WH^k(X) is a set obtained from stratified cochains in X by passing to the quotient with respect to a cobordism relation. In this paper ideas and techniques contained in [1] are expanded by first of all introducing agroup operation in WH^k(X), geometrically defined via transerse union of cochains, in such a way that the representation map R^k becomes a group isomorphism, and secondly, using transverse union, by giving a geometrical construction of Steenrod squares in the context of Whitney cochains.

KEY WORDS: Whitney stratifications, transversality, cohomology theory, Steenrod squares.

Mathematics Subject Classifications. Primary 57R95, 57N80; Secondary 55N20, 55M05.

Ricerche di Matematica, Vol XLIII fasc. 2^o, (1994) 175-204.

The Steenrod p-powers in Whitney Cohomology

Claudio Murolo

In his Ph.D. thesis and in the paper Whitney stratified chains and cochains, M. Goresky introduced, associated to each Whitney stratification X a geometric cohomology theory WH^*X), showing hat there is a bijection R^k : WH^k(X) --> H^k(X). Subsequently, in 1994, I improved Goresky's theory, by first introducing a group operation in WH^k(X), geometrically defined via transverse union of cochains in such a way that the representation map R^k becomes a group isomorphism, and secondly by giving a geometric construction of the Steenrod squares.

In this paper, extending techniques and results of 1994, we complete the theory by constructing geometrically (through the transversal sum), the Steenrod p-powers in the context of Whitney cohomology WH^*. A preliminary analysis explaining the Whitney cohomology of the lens spaces L_p = S^h/Z_p is necessary.

Key Words: Whitney stratifications, transversality, cohomology operations.

A.M.S. Classifications: Primary 57N80, 55M35; Secondary 55S10, 57S25

Topology and its Applications, Vol 68, (1996), 133-151.

SEMIDIFFERENTIABILITY, TRANSVERSALITY, AND

HOMOLOGY OF REGULAR STRATIFICATIONS

CLAUDIO MUROLO

The thesis introduces some new regularity conditions for stratified maps, deals with problems of extension for these maps and gives transversality and representation theorems about homology and cohomology for a stratified space.

In the chapter I, we improve the theorems of continuous controlled lifting of vector fields of Bekka (1988) and du Plessis (1996) and Shiota (1984) for a stratification X at least (c)-regular.

In the chapter II, we introduce and study the semidifferentiability, the horizontally-C¹ regularity and some other regularity conditions, halfway between continuity and C¹-regularity, for a stratified morphism f. We show each implication holding between them and study the problem of recognizing under what hypotheses a given stratified morphism verifies those regularity conditions.

We consider more particularly the case when the stratified morphismf is the flow at a time t of a continuous controlled lifted vector field. We find that such a regularity of the flows depends strongly on some regularity of the ambient stratification X, recalling a property conjectured for stratifications of analytic varieties by H. Whitney in 1965, the ``fibering conjecture'', which implies the existenceof a C<sup>0,1</sup> stratified foliation, compatible withthe stratification, near every point of X. We relate these notions with the notions of tame retractions of du Plessis-Wall (1995). Then we show that, for a stratification admitting such a ``good'' foliation, the regularity of the trivialising homeomorphism H, of a stratified proper submersion f : X --> M, in Thom's first Isotopy theorem may be improved in such a way that H becomes ``horizontally-C¹''.

In the chapter III we generalize to manifolds diffeomorphic to the interior S of a compact manifold with boundary a theorem known for compact manifolds about the simplicity of the subgroup of the diffeomorphisms near the identity of Diffo(S,S) . We then prove an extension theorem for stratified homeomorphisms defined on a skeleton X_k of X and we use these results to obtain a stratified transversality by sotopy theorem which generalizes the Goresky Transversality Lemma to the abstract stratified sets (A.S.S.) of Thom-Mather. In this case, the transversalizing homeomorphisms are obtained as compositions of flows of vector fields lifted in the way introduced in chapter I. Moreover, for stratifications satisfying more regularity conditions we prove the preservation of the regularity of a stratified subspace W of X after deformation depends on the semidifferentiability of the transversalising deformation f introduced in chapter II. The transversality theorem and those results about the preservation of the regularity after the deformation concern also (c)-, (w)- and Lipschitz-regularity.

In the chapter IV, we show that most of Goresky's results about homology WH_k(X) and cohomology WH^k(X) of a Whitney stratification X (1976 Thesis, 1981 Trans. Amer. Math. Soc.) can be extended to define theories {AH_k(X), AH^k(X) } and {BH_k(X), BH^k(X) } where for X, its cycles and cocycles we consider A.S.S. or (c)-regular stratifications instead of Whitney stratifications. Using Goresky's triangulation theorem for A.S.S., we show the analogy of Goresky's conjecture : ''the homological Goresky representation map R_a: AH_k(X) ---> H_k(X), is a bijection''.

We use the transversality theorem of the chapter III in order to prove that the ``the cohomologycal representation maps R<sup>a</sup>: AH<sup>k</sup>(X) ---> H<sup>k</sup>(X), and R<sup>b</sup>: BH<sup>k</sup>(X) ---> H<sup>k</sup>(X), are bijections'', analogous to Goresky's theorem. Then we show that the sets AH<sup>k</sup>(X) and BH<sup>k</sup>(X) can be structured by a sum operation geometrically meaning the ``transverse union'' of cocycles of X in such a way that AH^k(X) and BH^k(X) become groups and that the cohomological representation become R^a and R^b isomorphisms. The analogous theorem is proved for homology when X is a manifold.

We also obtain other important geometrical meaning for the standard operations in cohomology.

Cup-product is transverse intersection of two cocycles, cap-product is transverse intersection of a cycle and a cocycle and the induced homomorphisms f* are represented by the transverse preimage W --> f^--1(W) of a cocycle for a controlled map f . The cross product is given by the cartesian product of two cocycles and when Xⁿ is a manifold, the Poincare isomorphism is expressed by a map which interprets every k-cocycle of X as a k-cycle of X. We conclude observing that the geometrical realisation of the the Steenrod squares and the Steenrod p-power may be obtained as for Whitney cohomology WH* (Murolo 1994, 1996).

KEY WORDS : Stratified sets, maps and vector fields, Regularity conditions (a) and (b) of Whitney, (c) of Bekka, (w) de Kuo-Verdier, (a_f) de Thom, Topological triviality and Thom's first Isotopy Theorem, Transversality between sets and maps and Whitney Topology, Cellularisation, Triangulation and Homology and Cohomology of a cell complex.

Thesis, CMI, Université of Provence, Marseille, October 1997

Intr	Chap1	Ch.2	Ch.3	Ch.4

Semidifferentiable Stratified Maps

C. Murolo and D. Trotman

Near each stratum of a stratified space we use canonical distributions to improve known theorems on continuous controlled lifting of vector fields.We define semi-differentiable and horizontally-C¹ stratified controlled morphisms f : X --> X' betweenstratified spaces.

When X' is a smooth manifold, f is semi-differentiable. Otherwise semi-differentiability is equivalent to having bounded derivatives and being horizontally-C¹.

A semi-differentiable stratified homeomorphism preserves regularity of stratified subspaces.

C. R. Acad. Sci. Paris, t 329, Série I, p. 147-152, 1999.

Horizontally-C¹ Maps and Thom's First Isotopy Theorem

C. Murolo and D. Trotman

We state results concerning horizontally-C¹ regularity for a stratified map f : X --> X'. It requires the existence of local stratified (a)-regular horizontal foliations for X and X' (a smooth version of the conjectured complex analytic ``Whitney fibering'') and implies a horizontally-C¹ version of Thom's first isotopy theorem. We also consider the more general notion of F-semi-differentiability for f, F being a foliation, and state analogous theorems.

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 707-712, 2000.

Homologie d'Espaces Stratifiés

C. Murolo et K. Bekka

Nous reconsidérons pour les ensembles stratifi\'es abstraits et pour les stratifications (c)-régulières la théorie d'homologie WH_*(X) introduite par M. Gorseky (Trans. Amer. Math. Soc. 1981) pour une stratification de Whitney X dans laquelle les cycles de X étaient des objets sous-stratifi\'es (b)-réguliers de X. On obtient de nouveaux ensembles AH_k(X) et BH_k(X) pour lesquels les résultats de Goresky et les améliorations contenues de C. Murolo (1994 et 1996), s'étendent de façon naturelle. De plus nous démontrons que l'application de représentation R_a: AH_k(X) ---> H_k(X) est une bijection. pour tout E.S.A. X . Goresky, qui avait introduit l'application R_w: WH_k(X) ---> H_k(X) avait montré la bijectivité de R_w pour X une variété lisse et l'avait conjecturée pour X une stratification de Whitney.

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 331, Série I, p. 703-708, 2000.

Relèvements Continus de Champs de Vecteurs

C. Murolo and D. Trotman

Dans cet article, nous améliorons les théorèmes connus sur le relèvement continu de champs de vecteurs définis sur une strate X de une stratification X , (a)-, (b)-, (c)-, (w)- ou bien (L)-régulière, plongée dans une variété lisse M. Nous introduisons la notion de distribution canonique D_X i.e. un sous-fibré continu de TM associé à chaque strate X de X tel que les relevés des champs de vecteurs sur D_X soient des extensions stratifiées canoniques continues des champs de vecteurs sur X. Ce nouveau point de vue permet une formulation très naturelle des théorèmes de relévement continu et démarre à l'étude de une régularité pour des applications stratifiées f : X -->X' à mi-chemin entre la continuité et la différentiabilité C¹.

Bull. Sci. Math., 125, 4 (2001), 253-278.

Diffeomorphisms lying in one parameter groups and lifting of stratified homeomorphisms

Claudio Murolo

In this note we first show using results of McDuff that for a C ^r -manifold S, diffeomorphic to the interior of a compact manifold with boundary, the class of all C^r -diffeomorphisms lying in a one parameter group of S generates the connected component of 1_S in Diff ^r(S,S). Then we use this result to obtain two extension theorems for stratified maps defined on some strata of a stratified space X. Our extension theorems hold for Mather's abstract stratified sets, for Whitney (b)-regular, Bekka (c)-regular, Verdier (w)-regular and Lipschitz-regular stratified spaces.

A.M.S. Classifications: 57R50; 57S05; 58A35; 54C20.

Key Words: One parameter groups. Regular stratifications.

Math. Proc. Camb. Phi. Soc., (2001), 130, 333-341.

Stratified Transversality by Isotopy

C. MUROLO, D. TROTMAN and A. DU PLESSIS

For X a (w)-regular or (c)-regular stratification, hence for any Whitney stratification and,via regular embedding, for any abstract stratified set, we prove an extension theorem for diffeomorphismsdefined on strata of a given dimension.Then we show that after isotopy astratified subspace W of X can be made transverse to a stratified map g: Y --> X, and finally study cases where the isotopy preserves regularity of W.

KEY WORDS : Regular stratifications, Transversality, Whitney fine topology.

A.M.S. CLASSIFICATION: Primary 58A35, 57N75; Secondary 54C20, 57R52.

Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), no. 12, 4881--4900.

STRATIFIED TRANSVERSALITY VIA TIME-DEPENDENT VECTOR FIELD

C. MUROLO, A. A. DU PLESSIS and D. J. A. TROTMAN

For X a (w)-regular or (c)-regular stratification, hence for any Whitney stratification and, via regular embedding,

for any abstract stratified set, we use time-dependent vector fields to prove an extension theorem for diffeomorphisms

near the identity defined on strata of a given dimension.

Then we show that after isotopy a stratified map h : Z -> X can be made transverse to a fixed stratified map g: Y -> X.

A.M.S. Classifications: Primary 58A35, 57N75; Secondary 54C20, 57R52

J. London Math. Soc.( 2) 71 (2005) p. 516-530

Semidifférentiabilité et la Version Lisse de la Conjecture de Fibration de Whitney

C. Murolo and D. Trotman

For controlled strati•ed maps f : X -> X' between two stratified spaces, we define what it means for f to be semi-differentiable, horizontally-C1 and F-semi-differentiable (where F is a foliation).

When X is a smooth manifold, f is always semi-di•erentiable. In general, semi-differentiability is equivalent to f being horizontally-C^1 with bounded di•erential. Horizontally-C^1 regularity depends on the existence of (a)-regular horizontal stratified foliations of X and X , which gives a smooth version of the stratified fibration whose existence was conjecturedby Whitney for analytic varieties in 1965, and implies a horizontally-C^1 version of Thom's first isotopy theorem.

We obtain finally the corresponding theorems for the finer property of F-semi-differentiability.

Advanced Studies in Pure Mathematics 43, 2006, Singularity Theory and Its Applications, pp. 271 -309

A SURVEY ON STRATIFIED TRANSVERSALITY

C. MUROLO

In this paper we give a survey on transversality theorems for stratified spaces which have appeared in the literature in the

last 30 years having interest for their geometric applications to geometric homology theories.

On SINGULATITY THEORY, Proceedings of the 2005 Marseille Singularity Scool and Conference, Dedicated to Jean-Paul Brasselet on is 60th Birthday, January 24th - February 25th 2005 - CIRM, Marseille, France,

SINGULARITY THEORY

C. Murolo, D. Chéniot, N. Dutertre, A. Pichon, D. Trotman,

The Singularity School and Conference was organized from 24 January to 25 February 2005, in the CIRM, Centre International de Rencontres Mathématiques de Luminy, Marseille, France, as a Special School of the Formation Permanente of the French CNRS. Organizers of the five weeks were successively Anne Pichon, Jean-Paul Brasselet, David Trotman, Nicolas, Dutertre and Claudio Murolo, Denis Chéniot. Around 200 mathematicians from 31 countries participated in this very successful event.
The five weeks were organized in the following way : Elementary and advanced courses were given during the first week by high level specialists of the subject : Jean-Paul Brasselet, Characteristic classes for Singular Varieties, Herwig Hauser, Basic techniques for resolution of singularities, Anatoly Libgober, Topology of the complements to hypersurfaces in projective space, David Trotman, Stratifications of subanalytic and semialgebraic sets, Vladimir Zakalyukin, Lagrangian and Legendrian singularities. The second week was devoted to general lectures on singularity theory. During the third week users of singularity theory gave lectures on applications of the theory to various domains: robot manipulation, visualization techniques, medical imaging, nerve cells, resonance tongues, gravitational lensing, etc. . . During the fourth week young researchers explained their recent results and during the last week lectures were concentrated on geometry and topology in singularity theory.
The purpose of the event was to cover recent developments in the area and to introduce young researchers to singularities in geometry and topology.
The book is a collection of courses, surveys and new results in singularity theory and its applications presented during the five weeks. It provides a focus for senior researchers and postgraduate students, summarizing the current main ideas in singularity theory and suggesting future research directions in the area.
The main interesting features of the papers presented for the Proceedings of the Singularity School and Conference are: the elementary and advanced courses in the first part of the book, and the papers on applications of singularity theory in the second part, which is an original point in comparison with classical proceedings on the subject. The third part contains surveys providing development and evolution of the most important themes of the theory from the beginning up to now, and research papers on important recent results in the field. They represent the current problems under investigation.in the area and the present state of the art of the subject.
All papers published in the present book have been refereed.
The volume is complementary to the volume published byWorld Scientific Publishing for the School andWorkshop on Singularity theory held in Trieste, 15 August - 3 September 2005.
The event was made possible with the help of the CNRS, Centre National de la Recherche Scientifique, especially the Formation Permanente of CNRS and local institutions of the CNRS: FRUMAM, IML and LATP, the CIRM, the French Ministry of Research and Technology, the French Ministry of Foreign Aairs, the Science Faculty of the Universit´e de la Méditerranée, the University of Provence, the Town of Marseille, France, the Conseil G´en´eral des Bouches-du-Rhˆone, France. The organizers thank particularly those participants who funded themselves partially or totally .
It is a great pleasure to thank all the speakers and the participants whose presence was the real success of the School and Conference. We are also very grateful to the sta of the IML and the CIRM for their help in organizing the event. Finally, our thanks go to the editorial sta of World Scientific Publishers for their patience and e cient help with publication process of the volume.

Proceedings of the 2005 Marseille Singularity Scool and Conference, Dedicated to Jean-Paul Brasselet on is 60th Birthday, January 24th - February 25th 2005 - CIRM, Marseille, France,
World Scientific, to appear 2007, 900 pages.

Cover Book

Introduction

WHITNEY STRATIFIED MAPPING CYLINDERS 

C. MUROLO

   In this paper we investigate (b)-regularity for stratified mapping cylinders C_W' (W ) of a stratified submersion f : W → W ′ between two Whitney stratifications.  
   We show how Goresky’s condition (D) for f  is sufficent to obtain (b)-regularity of  C_W' (W ).

  Revisiting some ideas of Goresky we give different proofs, a finer analysis and new equivalent properties.

Geometry and Topology of Singular Spaces

Oct. 29-Nov. 2, 2012 - CIRM -Luminy- Marseille, France
in honour of David Trotman for his 60th birthday


Editors: C. Murolo, K. Bekka, N. Dutertre,  A. du Plessis, S. Simon, G. Valette

This volume contains the proceedings of the international workshop \Topology and Geometry of Singular
Spaces", held in honour of David Trotman in celebration of his sixtieth birthday. The workshop took place at the Centre International de Rencontres Mathématiques (CIRM), Marseilles, France from October 29 to November 2nd 2012.  Its main theme was the singularity theory of spaces and maps.
The meeting was attended by 74 participants from all over the world. 29 talks were given by major specialists,
and 8 posters were presented by some younger mathematicians.  The topics of the talks and posters were wide-
ranging:  stratification  theory,  stratified  Morse  theory,  geometry  of  definable  sets,  singularities  at  infinity  of polynomial  maps,  additive  invariants  of  real  algebraic  varieties,  applications  of  singularities  to  robotics,  and topology of complex analytic singularities.
We  thank  all  participants,  especially  the  speakers,  for  making  the  meeting  successful  and  fruitful,  both
socially and scientifically.
We are also very grateful to all the research bodies who contributed to the financing of the conference:  the
CIRM institution, the University of Aix-Marseille for Fonds FIR, the LABEX Archimede, and FRUMAM, the University of Rennes 1, the University of Savoy, the ANR SIRE, the city of Marseilles, the "Conseil Géneral des Bouches du Rh^one", the Ministry of Education via the ACCES program, the GDR (Groupement de Recherche) of the CNRS Singularitiés et Applications and the GDR-International franco-japonais-vietnamien de singularités
.
The papers of this volume cover a variety of the subjects discussed at the workshop.  All the manuscipts
have been carefully peer-reviewed.  We thank the authors for their valuable contributions, and the referees for
their careful and conscientious work.

The Editors (who were also the organisers of the workshop),

April 2015.

STRATIFIED SUBMERSION AND CONDITION (D)

C. MUROLO

In this paper we investigate Goresky's Condition (D) for a stratified submersion between two Whitney stratifications.  After revisiting the main results on Condition (D) of 1976 and 1981 due to Goresky, we give new equivalent properties⁽¹⁾ and two sufficient analytic conditions and their geometric meaning.

(1) : Used in [16] to give a new proof of the (b)-regularity of stratified mapping cylinders needed to Goresky in 1978 to prove a
theorem of Whitney cellularisation of Whitney stratifications with conical singularities.

ON THE SMOOTH WHITNEY FIBERING CONJECTURE

C. MUROLO, D. J. A. TROTMAN and A. DU PLESSIS

 We improve upon the first Thom-Mather isotopy theorem for Whitney stratified sets. In par- ticular, for the more general Bekka stratified sets we show that there is a local foliated structure with continuously varying tangent spaces, thus proving the smooth version of the Whitney fiber- ing conjecture. A regular wing structure is also shown to exist locally, for both Whitney and Bekka stratifications. The proofs involve integrating carefully chosen controlled distributions of vector fields. As an application of our main theorem we show the density of the subset of strongly topologically stable mappings in the space of all smooth quasi-proper mappings between smooth manifolds, an improvement of a theorem of Mather.

Article Soumis, 66 pages.

Whitney Cellularisation of Whitney Stratified Sets and the Goresky Homology Conjecture

C. Murolo et D. Trotman

We use the proof of Goresky of triangulation of compact abstract stratified sets and the smooth version of the Whitney fibering conjecture, together with its corollary on the existence of a local Whitney wing structure, to prove that each Whitney stratified set X = (A, Σ) admits a Whitney cellulation.
We apply this result to prove the conjecture of Goresky stating that the homological representation map R : WH_k(X) → H_k(X) between the set of the cobordism classes of Whitney (b)-regular stratified cycles of X and the usual homology of X is a bijection. This gives a positive answer to the extension to Whitney stratified sets of the famous Thom-Steenrod representation problem of 1954.

Article Soumis, 35 pages

Homology of Stratified Spaces structured by the Transverse Sum,

K. Bekka and C. Murolo,

We reconsider for abstract stratified sets and for (c)-regular stratifications the homology theory WH_*(X) introduced by Gorseky (1976 Thesis and 1981 Trans. Amer. Math. Soc.) for Whitney stratifications X in which the cycles of X were Whitney substratified objets of X.. We obtain new sets AH_k(X) and BH_k(X) for which all of Goresky's results and the improvements contained of Murolo (1994 and 1996), extend in a natural way. We prove moreover that the representation map R_a : AH_k(X) ---> H_k(X) is a bijection. Goresky, who introduced the map R_w : WH_k(X) --> H_k(X) , proved bijectivity of R_w for X a smooth manifold, and conjectured bijectivity for X a Whitney stratification.

preprint, 29 pages.

Cohomologie d'Espaces Stratifiés

C. Murolo

Nous reconsidérons pour les ensembles stratifiés abstraits et pour les stratifications (c)-réguliéres la théorie de cohomologie WH*(X), introduite par M. Gorseky (1976, 1981) pour une stratification de Whitney X dans laquelle les cocycles de X étaient des objets sous-stratifiés (b)-réguliers de X vérifiant la condition de p-fibre..Nous obtenons ainsi de nouveaux ensembles AH^k(X) et BH^k(X) pour lesquels les définitions et les résultats de Goresky (1976 et 1981) ainsi que les améliorations contenues dans Murolo (1994 et 1996), s'étendent de façon naturelle. Dans les théories AH^*(X) et BH^*(X) le théorème de transversalité de Murolo-duPlessis-Trotman joue le même rôle que le ``Moving Lemma'' dans la théorie des anneaux de Chow CH^* pour les cycles algébriques d'une variété algébrique (Fulton).

Preprint, 20 pages.

A theorem about vector fields on non-compact manifolds

Claudio Murolo

In this paper we provide a sufficient condition about global integrability of a smooth vector field on a non-compact smooth manifold M and show, as corollary, that every local flow on M can be composed with a diffeomorphism in such a way it becomes a global flow.

Preprint, Université de Naples 1991, 8 pages