Algèbre commutative et géométrie à travers les treillis d’idéaux avec un soupçon de schéma 1

Cet exposé sera découpé en deux parties, la suite étant programmée au 3 avril !

L’algèbre commutative (anneaux, modules, idéaux etc.) est injustement haïe et maltraitée dans ce bas-monde… Le but de mes exposés est de réparer cette injustice en apprenant à mieux la connaître !

Pour cela, je vais revenir aux définitions et propriétés les plus basiques (niveau L3) mais avec une approche qui se rapprochera plus de la théorie des groupes et de la géométrie.

Dans cette première partie, le concept principal sera celui de treillis des idéaux d’un anneau qui permet de visualiser les concepts de base qui semblent sinon abscons et arbitraires. Plutôt qu’une machinerie qui donne des résultats, il s’agira d’un outil pour développer une intuition et « voir » l’algèbre opérer devant nos yeux !

Dans la seconde partie, nous verrons comment ces résultats se traduisent en termes géométriques à l’aide des schémas affines (que je présenterai de façon TRÈS informelle). Nous verrons comment les espaces que l’on obtient sont des miroirs de nos treillis et que finalement : « l’algèbre n’est qu’une géométrie écrite, la géométrie n’est qu’une algèbre figurée. » (Sophie Germain).