| Responsable véronique GAYRARD |
Suppléante Élisabeth REMY |
Gestionnaire Valérie JOURDAN |
Page en cours de rédaction
| Groupe thématique MABioS | Groupe thématique MEB |
Mathématiques et Algorithmique pour la Biologie des Systèmes (MABioS)
Responsable : Élisabeth REMY
- Modélisation discrète des réseaux de régulation
Mots-clés : réseaux booléens, graphes, systèmes dynamiques discrets, fonctions booléennes
- Analyse des réseaux d'interactions à grande échelle
Mots clés: graphes, modularité, classification, communautés
Mathématiques, Évolution, Biologie (MEB)
Responsable : Michael KOPP
L’équipe "Mathématiques, Évolution, Biologie" développe des outils mathématiques autour des domaines de la biologie suivants :
- L’évolution
- La biologie des populations
- Évolution
- Modélisation de l’évolution biologique [M. Royer- Carenzi]
- Génétique des populations [M. Kopp et É. Pardoux]
- Gènes janologues et histoires d’épidémies [R. Barthélémy, É. Faure et M. Royer-Carenzi]
Sur le web : Détails sur le rapport d’activité 2011-2016 - Équipe BMA (page 106-109)
Probabilités
Responsable : Pierre MATHIEU
Il est possible de synthétiser l’activité de l’équipe autour de 5 grands thèmes relativement peu cloisonnés.
- Marches aléatoires simples sur les réseaux réguliers
- Marches sur les groupes
- Orbite des marches simples sur les résaux cubiques
- Temps locaux d’auto-intersection
- Marches biaisées et modifiées par leurs trajectoires
- Marches renforcées
- Marches à boucles effacées
- Agrégat limité par diffusion interne
- Transitions, mélanges et séparations de phases
- Modèles unidimensionnels
- Diagramme de phase pour le problème des cliques
- Sélection de mesure par le bruit
- Automates déterministes
- Transformations de l’intervalle
- Milieux désordonnés et applications, systèmes de particules en interaction
- Quasi-cristaux
- Matrices aléatoires
- Homogénéisation aléatoire
- Marches en conductance aléatoires
- Promenade aléatoire en paysage aléatoire
- Modèle parabolique d’Anderson
- Métastabilité et vieillissement
- Processus de contact
- Loi exponentielle
- Limites d’échelle
- Vieillissement et verres de spin
Sur le web : Détails sur le rapport d’activité 2011-2016 - Équipe PROBA (page 84-89)
Signal et Image
Responsable : Frédéric RICHARD
● Traitement du signal/image et apprentissage statistique
Collaboration : équipe QARMA (éQuipe AppRentissage et MultimédiA) du LIS (Laboratoire d’Informatique & Systèmes, UMR 7020).
● Méthodes variationnelles et optimisation, problèmes inverses
● Modélisation probabiliste et statistique, traitement de données
- Analyse statistique de textures Browniennes
Nous travaillons sur l’analyse statistique de propriétés de micro-textures irrégulières d’images pouvent être décrites au moyen d’extensions du modèle de champ Brownien fractionnaire. Les propriétés auxquelles nous nous intéressons sont principalement l’irrégularité, l’anisotropie et l’hétérogénéité. Nous avons recours à des modèles de champs Browniens mono- ou multi-fractionnaires anisotropes. Nous construisons des estimateurs permettant d’inférer ou de tester les propriétés de ces champs à partir d’une de leurs réalisations. Ces estimateurs sont principalement basés sur les incréments des champs et leurs variations quadratiques. Nous étudions leurs propriétés théoriques asymptotiques et leurs propriétés numériques. La méthodologie statistique est appliquée à toutes sortes de domaines (imagerie bio-médicale, conservation photographique, détection de défauts,...).
- Analyse statistique de surfaces aléatoires représentées par des courants
Nous travaillons sur l’analyse statistique de surfaces représentées par des modèles de courant. En nous inspirant de la théorie des processus généralisés, nous avons proposé une modélisation stochastique des surfaces en les plongeant dans un espace de formes linéaires aléatoires définies sur un espace de champs de vecteurs. Dans ce cadre, nous propons des méthodes d’estimation de représentants moyens de populations de surfaces et de la variabilité des individus. Pour la discrétisation des estimateurs, nous nous appuyons principalement sur des bases Hilbertiennes (Fourier, ondelettes,...) de l’espace des champs de vecteurs sur lequel sont définies les formes linéaires aléatoires. Nous étudions les propriétés asymptotiques de ces estimateurs. Les méthodes mises en place sont principalement appliquées à des surfaces extraites d’images cérébrales.
- Analyse multirésolution sur les graphes à base de chaines de Markov
Les données sur des graphes ne permettent pas l’utilisation de certains outils classiques de traitement du signal, en particulier l’analyse multiéchelle par ondelettes. En effet les opérations de dilatation et de translation étant mal définies sur un graphe, les algorithmes classiques de décomposition multirésolution s’appliquent difficilement. Cependant un graphe pondéré étant naturellement associé à une chaine de Markov nous avons travaillé à mettre en place un algorithme de décomposition multiéchelle basé sur un schéma de décomposition filtrage-sous-échantillonnage, utilisant des outils probabilistes, pour le traitement du signal des données sur des graphes.
Collaboration : Fabienne Castell (I2M), Alexandre Gaudillière (I2M), Luca Avena (Leiden University).
- Analyse de processus localement stationnaires
Nous développons des algorithmes d’analyse de processus non stationnaires obtenus par déformation locale de processus stationnaires, la déformation étant approximée par une translation dans un domaine de représentation bien choisi (ondelettes, temps-fréquence,...). Le domaine d’application principal est l’analyse de sons non-stationnaires.
● Outils multirésolution (ondelettes, ...), analyse temps-fréquence et approximation
- Analyse multirésolution sur les graphes à base de chaines de Markov (voir 2)
- Analyse multifractale, régularité ponctuelle
L’analyse multifractale concerne l’étude de signaux dont la régularité ponctuelle varie de point en point. Nous travaillons sur différents critères de régularité ponctuelle (régularité ponctuelle pour des signaux non localement bornés, régularité anisotropique), et leur caractérisation à l’aide de coefficients sur des systèmes de type ondelettes, ainsi que sur des modèles sur lesquels il est possible de bien comprendre les liens entre différents exposants de régularité ponctuelle et les quantités globales qu’on peut chercher à calculer pour caractériser le signal.
Collaboration : P. Abry (ENS Lyon), S. Jaffard (UPEC), R. Leonarduzzi (ENS Lyon), H. Wendt (IRIT). - Analyse temps-fréquence, principes d’incertitude
Nous développons des techniques de représentation et d’approximation de signaux dans le domaine conjoint temps-fréquence. Les principaux résultats concernent des techniques d’optimisation adaptative de fenêtre et réseau d’échantillonnage dans la transformation de Gabor, de décomposition de signaux en couches exploitant des concepts de parcimonie et parcimonie structurée (voir aussi Méthodes variationnelles et optimisation, problèmes inverses ci dessus) et d’utilisation de la décomposition en modes empiriques pour le codage audio Nous étudions aussi des bornes théoriques données par des inégalités d’incertitude de type inégalité de Heisenberg, Hirschman-Babenko-Beckner, Elad-Bruckstein ou Dembo-Maassen-Uffink dont nous avons obtenu des raffinements.
Collaborations : M. Dörfler, H.G. Feichtinger, D. Onchis-Moaca, C. Wiesmeyr (NuHAG Vienna, Autriche), B. Ricaud (EPFL Lausanne, Suisse), M. Kowalski (L2S, Univ Paris 11), H. Lachambre, G. Stempfel (Genesis SA, Aix-en-Provence) - Représentation d’opérateurs dans des trames temps-fréquence
Nous développons de nouvelles méthodes d’approximation d’opérateurs dans des trames, en particulier temps-fréquence et ondelettes. En particulier, nous avons obtenu des expressions explicites pour l’approximation optimale de certaines classes d’opérateurs par multiplicateurs temps-fréquence, exploitant des techniques liées à la théorie de Plancherel. Nous étudions également les problèmes d’estimation et d’identification d’opérateurs, dans un contexte d’analyse et trabsformation de signaux audio.
Collaborations : M. Dörfler (NuHAG Vienna, Autriche), R. Kronland-Martinet (LMA Marseille)
Domaines d’applications
● Signaux et images biomédicaux
- Imagerie mammaire
Nous travaillons sur l’analyse des textures des images mammaires avec deux objectifs principaux, celui de détecter automatiquement des lésions présentes dans les images et celui d’évaluer un risque de développement du cancer avant son apparition. Les méthodes d’analyse que nous utilisons reposent sur une modélisation des images par des modèles de champs Browniens fractionnaires étendus.
Collaboration : Françoise Clavel-Chapelon (Institut Gustave Roussy). - Tomographie à rayons X standard et spectrale
La tomographie à rayons X, ou tomodensitométrie, bénéficie ces dernières années d’une rupture technologique grâce aux détecteurs à rayons X de dernière génération développés au CPPM, les détecteurs à pixels hybrides. Ils permettent de travailler à très bas flux et de capturer de l’information énergétique sur l’objet imagé. Le premier volet de cette étude concerne les méthodes de reconstruction tomographique incorporant la nouvelle physique de détection et permettant de reconstruire à bas flux. Le problème inverse relatif modélise le bruit de Poisson, seul bruit inhérent à ce type de mesure ainsi que des a priori parcimonieux sur l’objet d’étude. Le second volet de cette étude concerne le développement d’une méthodologie afin de reconstruire l’objet d’étude et de cartographier ses principaux constituants d’intérêt à l’aide de l’information énergétique (i.e. spectrale) acquises par les détecteurs à pixels hybrides. Ce problème combine la reconstruction tomographique à la séparation de source dans un contexte non-linéaire.
Collaboration : Yannick Boursier (Centre de Physique des Particules de Marseille, Laurent Jacques (ICTEAM, Université Catholique de Louvain, Belgique), Pierre Vandergheynst (LTS2, EPFL, Suisse). - Imagerie biphoton
Nous travaillons sur la restauration d’images biphotoniques, modalité de microscopie par fluorescence qui possède de nombreux atouts, dont sa capacité à imager à de plus grandes profondeurs, à limiter la phototoxicité (ce qui permet d’effectuer des expériences in vivo), ainsi qu’à réduire le bruit d’acquisition.
Les différents expériences d’acquisitions montrent que la PSF (réponse impulsionnelle de l’instrument) est non stationnaire suivant l’axe Z (profondeur).
Le problème est formulé sur la forme d’un critère à minimiser (prenant en compte le modèle directe et des informations a priori) et des algorithmes d’optimisation (approches proximales, stratégie de Majoration-Minimisation (MM)) sont mis en oeuvre afin de résoudre le problème d’optimisation.
Collaboration : Franck Debarbieux, Geneviève Rougon (Institut des Neurosciences de La Timone) ; Emilie Chouzenoux (Univ. Paris-Est).
Financement : Projet Jeune Chercheur ISIS/GRETSI puis Projet Defi Imag’In
● Signaux et images cérébraux
- Imagerie cérébrale (neurosciences)
Nous travaillons sur la caractérisation des plissements corticaux à partir de surfaces extraites de l’imagerie cérébrale. Nous utilisons des outils représentations spectrales de graphes (Transformée de Fourier avec ou sans fenêtre, ondelettes,...). A partir de ces représentations, nous proposons des outils d’analyse des surfaces pour caractériser ou comparer des populations.
Un autre champ de recherche est celui de l’application de nouvelles méthodes d’analyse multirésolution basées sur la modélisation des données à l’aide de chaines de Markov. Nous comptons les appliquer à des problèmes de classification, segmentation, et analyse de régularité de données sur le cerveau.
Collaboration : Julien Lefèvre, Olivier Coulon (Institut des Neurosciences de La Timone) ; Alexandre Gaudillière (I2M). - Modélisation statistique des signaux électrophysiologiques
Nous développons des modéles pour les signaux cérébraux et des algorithmes d’estimation et classification correspondants, notamment dans le cadre des interfaces cerveau-machine en collaboration avec le Laboratoire de Neurosciences Cognitives(LNC), l’équipe DYCOG du Centre de Recherche en Neurosciences de Lyon (CRNL) et le projet INRIA Athena.
Nous nous intéressons à la mise en oeuvre de modèles intégrant des sources de variabilité diverses et à leur validation sur des données réelles. Les méthodes que nous développons combinent décomposition sur des bases Hilbertiennes (Ondelettes, Temps-fréquence,...) et modélisation statistique dans le domaine des coefficients (modèles mixtes, modèles de Markov cachés). Ceci se place dans le contexte de la caractérisation et discrimination de différents types d’ondes cérébrales.
Collaboration : Boris Burle (LNC Marseille), Maureen Clerc (Projet Athena/INRIA), Jérémie Mattout (CRNL/INSERM, équipe DYCOG)
● Séparation de sources en spectroscopie (RMN, fluorescence)
● Signaux audio-numériques
Dans un autre cadre, nous étudions les problèmes de transformation de signaux audio utilisant des techniques d’approximation d’opérateurs dans le domaine temps-fréquence (multiplicateurs ou déformations locales).
Collaboration : Valentin Emiya (LIF), P. Depalle (CCRMT, Mc Gill, Montreal, Canada), R. Kronland-Martinet (LMA Marseille)
Financement : ANR Jeune Chercheur (V. Emiya)
Sur le web : Rapport d’activité 2011-2016 - Équipe SI (page 99-102)
Statistique
Responsable : Pierre PUDLO
Plusieurs thèmes de recherche sont développés au sein de l’équipe. Certains thèmes regroupent une majorité des membres. D’autres sont étudiés plus marginalement, mais sont voués à se développer. Des liens existent entre tous les thèmes. Comme l’utilisation de la statistique bayésienne dans l’apprentissage, la construction de tests non paramétriques pour des processus dépendants ou pour des modèles actuariels.
● Thème 1 : Statistique mathématique, problèmes inverses
Cette thématique a été historiquement développée par l’équipe de statistique de Château-Gombert. Plusieurs axes de recherche sont abordés.
→ L’agrégation des méthodes linéaires à l’aide de la pondération exponentielle. Bien que la pondération exponentielle soit l’une des plus efficaces des méthodes d’agrégation convexe, son analyse rigoureuse est un problème mathématique généralement difficile. Une nouvelle approche de l’analyse de la pondération exponentielle est développée, basée sur des inégalités d’entropie pour les processus ordonnés. Cette méthode permettrait de contrôler la concentration du risque de la pondération exponentielle dans le voisinage du risque d’oracle ([8] et [19]).
→ La sélection automatique des paramètres de régularisation dans les problèmes inverses linéaires. Le problème de sélection automatique des paramètres de régularisation dans les problèmes inverses est l’un des problèmes fondamentaux dans les méthodes numériques. Malgré une longue histoire de ce problème il n’y a pas actuellement de solutions simples et efficaces. Pour construire de bonnes méthodes de sélection automatique, une approche basée sur une interprétation probabiliste du problème inverse a été proposée et étudiée. Plus précisément, il a été démontré que la méthode basée sur la minimisation du risque prédictif non-biaisé sera proche de la méthode optimale pour le problème inverse ([19]).
Dans [28], on obtient des résultats théoriques sur un modèle généralisant l’estimation non paramétrique de densité multivariée et la déconvolution de densité multivariée.
On établit des bornes inférieures du risque minimax sous des conditions très faible (dimension quelconque de la fonction, espace de régularité large, famille de pertes Lp quelconque). Dans un autre travail (en cours de finalisation), on développe une méthode d’estimation qui vérifie une inégalité de type oracle et atteint les vitesses minimax.
Chercheurs : F. Autin, Y. Golubev, T. Le Gouic, O. Lepski, C. Pouet, T. Willer
● Thème 2 : Estimation et tests non paramétriques
Cet axe de recherche peut se rattacher à la statistique mathématique, mais ses développements sont assez nombreux pour le faire apparaître séparément.
→ Procédure d’estimation universelle. Création d’une procédure d’estimation universelle s’adaptant simultanément au grand spectre de paramètres nuisibles indépendamment de leur nature (incluant l’adaptation structurelle). Sur ce sujet des collaborations avec plusieurs chercheurs de différents pays se sont achevées avec succès avec la résolution de nombreux problèmes qui restaient ouverts depuis longtemps ([18], [27], [20], [26], [16]). En particulier, dans l’article [24] on trouve des résultats définitifs sur l’existence d’estimateurs adaptatif par rapport à l’échelle de classes de Nikolskii anisotropes. De plus, 8 problèmes ouverts liés à l’estimation adaptative sont formulés. Ces travaux ont mis en évidence la nécessité de développer de nouveaux outils probabilistes liés aux majorantes uniformes (upper functions) pour les fonctionnelles aléatoires positives, voir [25],[22], [23], [21], [17].
→ Approche maxiset. L’étude des performances maxis et des estimateurs par méthodes d’ondelettes a mis en lumière de nouveaux espaces fonctionnels, en particulier des espaces regroupant des fonctions ayant des coefficients d’ondelettes structurés. Les vitesses minimax et minimax adaptatives de ces nouveaux espaces sont étudiées.
Un travail en collaboration avec C. Chesneau, [9], concerne les performances d’un estimateur de la fonction de répartition dans un modèle de données dépendantes et censurées. La méthode utilise des ondelettes déformées, et est étudiée du point de vue théorique (risque minimax) et pratique (comportement de l’estimateur sur des données simulées et sur des données réelles).
Dans les problèmes d’estimation en grande dimension où il est question d’estimer un paramètre d-dimensionnel à partir de n observations (avec d >> n) de nouvelles méthodes se sont récemment révélées performantes comme par exemple les méthodes de type LASSO ou de type DANTZIG SELECTOR. Ces méthodes reposent toutes sur la résolution d’un problème d’optimisation l1 sous contrainte. Il est question d’utiliser le point de vue maxiset pour comprendre si l’une ou l’autre des deux méthodes peut être considérée comme la meilleure.
→ Tests non paramétriques. Le modèle de mélange à poids variable est intéressant pour traiter de nombreux problèmes. Le cas paramétrique a été traité dans l’article [3]. Le cas non-paramétrique a été traité dans plusieurs articles afin d’étudier différents aspects : vitesse minimax de test, perte pour l’adaptation : [1], [2] and [4]. Ce modèle doit être étudié comme une alternative aux méthodes d’imputation pour traiter les problèmes de données manquantes (par exemple imputation simple, imputation multiple). Une autre piste est de supposer que les poids variables qui sont donnés ne sont pas exacts mais entachés d’erreur (par exemple, les poids variables sont fournis par un expert humain ou un système expert qui disposent de données d’apprentissage). La théorie des matrices aléatoires fournira probablement des outils pour étudier ce problème. En effet, le comportement de la plus petite valeur propre d’une certaine matrice du problème est crucial quant à la qualité des résultats obtenus.
Chercheurs : F. Autin, C. Pouet, T. Le Gouic, O. Lepski
● Thème 3 : Processus et dépendance - Extrêmes - Statistique actuarielle
→ Processus à mémoire longue. Une série de papiers portent sur la comparaison de processus dans différents cadres de dépendances. On peut noter [13] pour le cas apparié et [12] pour les cas de dépendance faible. Aujourd’hui nous nous intéressons à la construction de test de comparaison de processus à dépendance forte, de champs gaus- siens, et à des processus de loi stables.
→ Séries temporelles. Dans le cadre de la rédaction du livre ""Méthodes en séries temporelles et applications avec R" (Boutahar et Royer-Carenzi), de nouvelles méthodes ont été développées pour l’analyse des séries temporelles, et notamment l’identification de ses composantes. Ainsi, le test classique de racine unitaire de Dickey-Fuller augmenté permet de distinguer une tendance déterministe linéaire d’une tendance stochastique d’ordre 1, mais il échoue à détecter une tendance déterministe si elle est de degré supérieur ou égal à deux. Nous proposons une stratégie pour y remédier.
→ Statistique des extrêmes multivariés. Dans le cadre de la thèse d’Imen Kchaou (co-tutelle avec l’université de Sfax), des travaux récents portent sur l’estimation de la fonction de dépendance pour des variables aléatoires ayant des lois extrêmes. Nous continuons à explorer la théorie des valeurs extrêmes pour les séries temporelles : Loi asymptotique des maximas, loi des dépassement d’un seuil, comportement asymptotique des estimateurs de la fonction de Pickands dans le cas de faible et de forte dépendance. Des extensions au cas multivarié sont en cours et l’on peut noter plusieurs applications en assurance qui pourront faire le lien avec les travaux en actuariat ci-dessous.
→ Modélisation statistique du risque. Nous avons étudié l’approximation des probabilités de ruine dans le cas univarié et bivarié ([14] et [15]). Il s’agit d’une approche numérique, l’aspect statistique étant pour l’instant laissé en perspective. Les extensions multivariées sont particulièrement intéressantes en assurance car peu de méthodes donnent aujourd’hui des résultats satisfaisants pour approcher les probabilités de ruine. Notre approche par polynômes semble donner de meilleurs résultats. Nous nous intéressons également à la modélisation de la mortalité par des champs Markovien.
Chercheurs : M. Boutahar, D. Pommeret, L. Reboul, M. Royer-Carenzi
● Thème 4 : Statistique bayésienne - Apprentissage
Ces deux axes de recherche ont des liens forts autour du thème porteur des big data. L’aspect bayésien a été renforcé par le recrutement récent de P. Pudlo.
→ En statistique bayésienne, plusieurs axes sont étudiés : la sélection bayésienne de variables ([7]), les algorithmes de type ABC ([5]), et l’approche bayésienne en Big Data ([6]). De nombreuses applications en biologie sont développées.
→ En lien avec le big data, des travaux sont en cours sur des méthodes de classification non supervisée par des arbres de décision, sur des extensions à des données nominales, et sur l’importance des variables.
→ Travaux de modélisation en médecine sur la mise au point de procédures de questionnaires adaptatifs.
→ Mise au point de techniques de discrimination à l’aide de modèles graphiques avec application à des données d’imagerie médicale.
Chercheurs : B. Ghattas, D. Pommeret, P. Pudlo
● Collaborations interdisciplinaires - Applications
Nous avons plusieurs projets de collaboration en cours. Notamment :
– Développer des collaborations avec des collègues géographes d’Aix-Marseille Université sur la modélisation des transports dans le cadre du développement de la recherche à Centrale Casablanca.
– Collaborer avec les géographes d’Aix-en-Provence pour modéliser le vieillissement de la population par des méthodes de statistique spatiale (voir [11]).
– Modéliser l’évolution du phytoplancton par des méthodes bayésiennes (sélection de variables, mélanges) avec la Mediterranean Institute of Oceanography (MIO), en lien avec la thèse de M. Dugenne et la projet Amidex CHROME.
– Prolonger des travaux qui s’inscrivent dans le cadre de partenariats ECOS 2014 avec l’uruguay pour la modélisation statistique en Écologie.
– Développer les collaborations Statistique-Signal, à l’instar de [10], où C. Coiffard, C. Melot et T. Willer ont étudié une fonction multifractale en calculant les p-exposants en tous points, montrant qu’ils sont non triviaux.
Sur le web : Détails sur le rapport d’activité 2011-2016 - Équipe STA (page 93-95)
Toutes les publications de l'équipe sont disponibles sur la collection I2M de la plateforme en ligne :
