Équipe Arithmétique et Théorie de l’Information (ATI)

L’équipe ATI est une composante du Groupe scientifique Arithmétique, Géométrie, Logique et Représentations (AGLR).

Responsable de l’équipe : Stéphane BALLET

L’équipe Arithmétique et Théorie de l’Information est née de la rencontre entre des chercheurs travaillant à l’interface entre la Théorie des nombres, la géométrie algébrique et leurs applications à la Théorie de l’Information, notamment aux codes correcteurs d’erreurs et à la cryptographie, ce qui identifie les trois thèmes principaux sur lesquels travaille l’équipe. Ces trois thèmes interagissent entre eux. Il s’y ajoute un thème lié à la théorie de régularité des équations elliptiques complètement non-linéaires qui a donné lieu à des résultats exposés au Congrès International des Mathématiques en 2010.

  • Théorie des nombres
    – Théorie algébrique et analytique des nombres : hypothèse de Riemann, répartition de fonctions arithmétiques, corps de nombres (fonctions L, fonctions zêta, nombre de classes, unités fondamentales), distributions du Frobenius (Lang-Trotter et Sato-Tate conjectures), sommes exponentielles, cyclotomie des sommes de Weil, équations diophantiennes.
    – Formes modulaires. Représentations galoisiennes.
    – Théorie algorithmique des nombres : algorithmes dans les corps finis, dans les corps de nombres, les corps de fonctions et variétés algébriques (Chudnovsky, méthode CM, Comptage de points : algorithmes de Schoof-Elkies-Atkin, méthode p-adic de Satoh et Mestre par relèvement canonique, méthode p-adique de Kedlaya).

  • Géométrie algébrique
    – Étude des propriétés géométriques et arithmétiques de différents objets géométriques (courbes, variétés abéliennes, surfaces,…), pour des applications à la théorie des codes et la cryptographie.
    – Arithmétique dans les corps de fonctions : tours/suites de corps de fonctions définis sur des corps finis (tours de type Kummer, Artin-Schreier, modulaires, Shimura), espaces de Riemann-Roch, problème de la descente.
    – Nombre de points rationnels d’ensembles algébriques, de variétés abéliennes dont les variétés de Prym et les jacobiennes sur les corps finis.
    – Courbes de petits genres.
    – Courbes singulières, courbes optimales et maximales.
    – Obstruction de Serre.
    – Cohomologie l-adique.
    – Questions de régularité des équations aux dérivées partielles de type elliptique et de type hydrodynamique.
    – Géométrie algébrique computationnelle et effective.

  • Théorie de l’information
    – Complexité algébrique (complexité des opérations arithmétiques dans les corps finis).
    – Fonctions booléennes en codage et en cryptographie, non-linéarité, fonctions APN et fonctions de faible uniformité différentielle, étude asymptotique de l’uniformité différentielle.
    – Codes correcteurs d’erreurs et en particulier codes sur des anneaux et codes quasi-cycliques, réseaux d’interconnexion, réseaux arithmétiques (lattices).
    – Poids des codes de Reed-Muller généralisés, et des codes définis sur des variétés quadratiques ou hermitiennes.
    – Constructions de codes correcteurs pour des problèmes de transmission d’information utilisant de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres. En particulier, il s’agit de codes avec différentes conditions de localité et de sparsité.
    – Cryptographie appliquée (construction et étude de primitives et protocoles cryptographiques, side channel, générateurs pseudo-aléatoires, partage de secret, dictionnaires authentifiés).
    – Construction d’algorithmes d’exponentiation dans les corps finis.
    – Implémentation effective d’algorithmes.

Sur le web : Détails sur le rapport des activités 2011-2016 – Équipe ATI (page 142-163)

 


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