ERC RELANTRA

 

Relative langlands functoriality, trace formulas and harmonic analysis

Consolidator Grant

The Langlands program is a web of vast and far-reaching conjectures connecting seemingly distinct areas of mathematics that are number theory and representation theory. At the heart of this program lies an important principle called functoriality, that postulates the existence of deep relations between the automorphic representations of different groups, as well as related central analytic objects called automorphic L-functions. Recently, a new and particularly promising way to look at these notions, and that has come to be called the relative Langlands program, has emerged. It essentially consists in replacing groups by certain homogeneous spaces and to study their automorphic or local spectra.

As for the usual Langlands program, trace formulas are essential tools in the relative setting both to tackle new conjectures than to deepen our understanding of the underlying principles. A main theme of this proposal would be to make fundamental new contributions to the development of these central objects in the local setting notably by:

(1) Studying systematically the spectral expansions of certain simple versions especially in the presence of an outer automorphism (twisted trace formula).

(2) Developing far-reaching local relative trace formulas for general spherical varieties making in particular original new connections to the geometry of cotangent bundles.

These progress would then be applied to establish new and important instances of relative Langlands correspondences/functorialities. In a slightly different but related direction, I also aim to study and develop other important tools of harmonic analysis in a relative context, including Plancherel formulas and new kind of Paley-Wiener theorems, with possible applications to new global comparison of trace formulas and factorization of automorphic periods.

Coordinator contact: Raphaël BEUZART-PLESSIS

Start Date : 2022-09-01 End Date : 2027-08-31

This project has received funding from the European Research Council (ERC).
Grant agreement ID: 101044930.

 

Fonctorialité de Langlands Relative, Formules des Traces et Analyse Harmonique

Le programme de Langlands consiste en un réseau de vastes et profondes conjectures reliant deux champs mathématiques à priori distincts que sont la théorie des nombres et la théorie des représentations. Au cœur de ce programme se trouve un principe fondamental de “fonctorialité”, qui postule l’existence de relations profondes et mystérieuses entre les représentations automorphes de différents groupes, ainsi que des objets analytiques centraux appelés fonctions L automorphes. Récemment, un nouveau point de vue particulièrement prometteur sur ces notions est apparu sous le nom de programme de Langlands relatif. Celui-ci consiste essentiellement à remplacer les groupes par certains espaces homogènes et à considérer leurs spectres automorphes ou locaux.

Tout comme pour le programme de Langlands classique, les formules des traces sont un outil essentiel dans le cadre relatif à la fois pour démontrer certaines conjectures centrales du sujet mais aussi pour approfondir notre compréhension globale des principes sous-jacents. L’un des thèmes principaux de ce projet est précisément de contribuer à un niveau fondamental au développement de ces formules des traces et plus particulièrement:

(1) D’étudier de façon systématique le développement spectral de certaines formules des traces simples notamment en présence d’un automorphisme extérieur (formule des traces tordue).

(2) D’obtenir des formules des traces locales relatives dans un cadre très général pour les variétés sphériques en établissant de nouvelles connections originales avec la géométrie des fibrés cotangents.

Ces résultats de grande portée nous permettrons aussi d’établir de nouveaux cas importants de correspondances/fonctorialités de Langlands relatives. Dans une direction légèrement différente, je prévois aussi d’étudier et de développer d’autres outils d’analyse harmonique dans le contexte relatif. Cela inclut certaines formules de Plancherel explicites ainsi qu’un type complétement nouveau de théorèmes de Paley-Wiener, avec des applications potentielles à certaines comparaisons de formules des traces globales et à la factorisation de périodes automorphes.


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