Automorphic forms, endoscopy and trace formulas

La théorie des formes automorphes et le programme de Langlands sont des thèmes fondamentaux de la théorie des nombres moderne, les principes de fonctorialité et de réciprocité de Langlands formant les piliers centraux de l’édifice.

Cependant, malgré les nombreux résultats obtenus en plus de 40 ans d’efforts intenses, ses parties les plus profondes semblent encore hors d’atteinte.
Dès le début, la formule des traces d’Arthur-Selberg a joué un rôle clé dans le développement de la théorie. C’est la version tordue stabilisée de cette formule qui, jointe au lemme fondamental prouvé par Ngô, permet le plus d’applications. La formule des traces d’Arthur-Selberg est un outil puissant pour établir des cas de fonctorialité / réciprocité : par comparaison de deux formules des traces (e.g. la classification par Arthur du spectre automorphe des groupes classiques) ; pour l’étude de la cohomologie des variétés de Shimura, en la combinant avec une formule des traces de Grothendieck-Lefschetz ; etc.
Malgré les résultats remarquables obtenus grâce à la formule des traces,
des idées et des techniques ont émergé ces dernières années qui apportent un éclairage nouveau sur toute la théorie. L’objectif principal de cette conférence est de présenter les progrès récents sur la fonctorialité de Langlands et les formules des traces (sous toutes leurs formes). Cela incluera notamment les sujets suivants :

– Le “programme de Langlands relatif” avec les progrès importants faits
sur les conjectures de Gan-Gross-Prasad. Comme pour le programme de
Langlands usuel, la formule des traces relative (introduite par Jacquet)
est un outil central qui n’est pas encore pleinement compris.

– Les progrès spectaculaires récents sur la correspondance de Langlands locale avec les travaux de Genestier-(V.)Lafforgue pour les corps de fonctions et ceux de Fargues-Scholze pour les corps de nombres. Cela comprend aussi les importants travaux récents sur la correspondance de Langlands explicite pour les supercuspidales par Kaletha et al et les relations à la théorie de l’endoscopie.

– Les tentatives pour aller “au-delà de l’endoscopie” ou comment établir de nouveaux cas de fonctorialité. Cela inclut les idées originales de Lang-
lands mais aussi l’approche de Braverman-Kazhdan utilisant des formules sommatoires de Poisson non standard ainsi que les dernières méthodes développées par Sakellaridis dans le cadre relatif.

– Les nouvelles applications ou extensions de la formule des traces et de la
théorie de l’endoscopie par exemple à la cohomologie des groupes arithmétiques / variétés de Shimura ou dans le contexte des revêtements de groupes algébriques.

Cette conférence sera l’occasion de célébrer les 80 ans de Jean-Pierre Labesse qui a joué un rôle de premier plan dans le développement et la diffusion du programme de Langlands et en particulier de la formule des traces.