Birational Geometry and Hodge Theory

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Date(s) - 11/02/2019 - 15/02/2019
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COLLOQUE

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dans le cadre du Mois thématique Géométrie Complexe (3ème semaine)

Birational Geometry and Hodge Theory
Recent advances in Hodge theory, the theory of singular hermitian metrics and moduli theory of higher dimensional varieties have led to major breakthroughs in solving long-standing problmes in complex algebraic geometry, in particular birational geometry.

In Hodge theory, Saito’s theory of Hodge modules have proved to be a specially relevant framework for the study of hyperbolicity properties of the base spaces of families of smooth varieties, admitting a (relative) good minimal model. In particular, it has been shown that such base spaces are always of log-general type, whenever the family has maximal variation, proving a deep conjecture of Viehweg (Viehweg, Zuo, Kebekus, Kovács, Campana, Paun, Popa, Schnell and others).

Furthermore, these generalized Hodge theoretic notions have resulted in new (and more general) proofs of vanishing results in birational geometry (Popa, Kovács, Mustata, Wu, Arapura and others).

In a different but closely related direction, a new, deeper understanding of singular metrics on higher rank, singular sheaves with “good” curvature properties has emerged (Berndtsson, Paun, Takayama, Cao and others). Major applications to Iitaka’s conjecture for Kodaira dimension of algebraic fibre spaces have (subsequently) followed (Pǎun, Cao, Hacon, Popa, Schnell and others).

In moduli theory, the construction of moduli spaces of higher dimensional varieties is a fundamental problem. Here, as the result of Kollár and Kovács show, construction of “reasonable” moduli functors require close analysis of Hodge theoretic aspects of singularities of stable varieties.

The aim of this week is to further investigate these emerging methods with a
view towards applications in birational geometry and moduli spaces. Here are the outlines of the main topics that will be covered in this week.
– Hodge theory.
– Moduli of higher dimensional varieties.
– Interactions between Analytic and Hodge theories.

Géométrie birationnelle et théorie de Hodge
Les avancées récentes en Théorie de Hodge, dans la théorie des métriques hermitiennes singulières et des espaces de modules en dimension supérieure ont mené à des avancées majeures avec la résolution de conjectures anciennes en géométrie algébrique complexe, en particulier en géométrie birationnelle. En théorie de Hodge, la théorie de Saito des modules de Hodge s’est avérée être un cadre particulièrement adapté à l’étude des propriétés d’hyperbolicité des espaces paramétrant des familles de variétés lisses, admettant un bon modèle minimal (relatif). En particulier, il a été montré que de tels espaces sont toujours de type log-général quand la famille a variation maximale, démontrant ainsi une conjecture profonde de Viehweg (Viehweg, Zuo, Kebekus, Kovács, Campana, Paun, Popa, Schnell…).

De plus, ces notions de théorie de Hodge généralisée ont permis d’établir des preuves nouvelles (et plus générales) de théorèmes d’annulation en géométrie birationnelle (Popa, Kovács, Mustata, Wu, Arapura…).

Dans une direction différente mais proche, une compréhension nouvelle et plus profonde des métriques singulières sur les faisceaux singuliers de rang supérieur, avec de “bonnes” propriétés de courbure est apparue (Berndtsson, Paun, Takayama, Cao…). Des applications importantes à la conjecture d’Iitaka sur la dimension de Kodaira des espaces algébriques fibrés ont suivi (Pǎun, Cao, Hacon, Popa, Schnell…).

En théorie des espaces de modules, la construction d’espaces de modules en
dimension supérieure est un problème fondamental. Comme le montrent les résultats de Kollár et Kovács, la construction de foncteurs des modules “raisonnables” recquiert une analyse fine de la théorie de Hodge des singularités des variétés stables.

Le but de cette semaine est l’étude de ces nouvelles méthodes en vue de leurs applications à la géométrie birationnelle et aux espaces de modules. Voici les principaux sujets qui seront couverts.
– Théorie de Hodge.
– Espaces de modules en dimension supérieure.
– Interactions entre la théorie analytique et la théorie de Hodge.


{{Organisateurs :}}
Erwan Rousseau (I2M, Marseille)
Benoît Claudon (IRMAR Rennes)
Andreas Höring (Université Nice Sophia Antipolis)
Behrouz Taji (University of Notre-Dame)

{{Partenaires :}}

Agence Nationale de la Recherche (ANR)
Aix-Marseille Université (AMU)
ANR
ANR EMARKS
ANR FOLIAGE
ANR MICROLOCAL
Centre International de Rencontres Mathématiques (CIRM)
Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS-INSMI)
Clay Mathematics Institute (CMI)
ERC ALKAGE
European Mathematical Society (EMS)
Fondation Compositio Mathematica
FRUMAM
GDR 3064 GAGC
Institut de Mathématiques de Marseille (I2M)
Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT)
Institut Universitaire de France (IUF)
LabEx Archimède
LabEx CARMIN
LIA LYSM
Région Sud

Site web du colloque


Autre lien : CIRM

Olivier CHABROL
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