Relative Aspects of the Langlands Program, L-Functions and Beyond Endoscopy

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Date/heure
Date(s) - 25/05/2020 - 29/05/2020
Toute la journée

Emplacement
CIRM, Luminy

Catégories


Scientific Committee
Comité scientifique
Fiona Murnaghan (University of Toronto)
Bao-Chau Ngo (University of Chicago)
Jean-Loup Waldspurger  (CNRS – Sorbonne Université)
Organizing Committee
Comité d’organisation
Raphaël Beuzart-Plessis (CNRS – Aix-Marseille Université)
Volker Heiermann (Aix-Marseille Université)
Ju-Lee Kim (Massachusetts Institute of Technology)
Dipendra Prasad (Tata Institute of Fundamental Research)
Description
The Langlands program and the theory of automorphic forms are fundamental subjects of modern number theory. Langlands’ principle of functoriality, and the notion of automorphicL-functions, are central pillars of this area. After more than forty years of development, andmany celebrated achievements, large parts of this program are still open, and retain their mystery.
The theory of endoscopy, a particular but very important special case of functoriality, has attracted much effort in the past thirty years. This has met with great success, leading to the proof of the Fundamental Lemma by Ngô, and the endoscopic classification of automorphic representations of classical groups by Arthur. Going beyond these remarkable achievements requires new techniques and ideas ; in the past few years, exciting directions have started to emerge, which may renew our vision of the whole subject.
This brings us to the three main topics of this conference :
(1) The “relative Langlands program” is a very appealing generalization of the classical Langlands program to certain homogeneous spaces (mainly spherical ones). It relates period integrals of automorphic forms to Langlands functoriality or special values of L-functions.Remarkable progress on the Gan-Gross-Prasad and Ichino-Ikeda conjectures has been made(by Waldspurger, W. Zhang, and others). With the work of Sakellaridis and Venkatesh, this subject has reached a new stage ; we now have a rigorous notion of “relative functoriality”,with very promising perspectives. A central tool in all these questions is Jacquet’s relative trace formula, whose reach and theoretical context remain to be fully investigated.
(2) Relations between special values of (higher) derivatives of L-functions and height pairings (between special cycles on Shimura varieties and Drinfeld’s Shtuka stacks) will also be part of the program. This includes arithmetic versions of the Gan-Gross-Prasad conjectures, which generalize the celebrated Gross-Zagier formula. In the function field case, striking recent results of Yun and W. Zhang give geometric meaning to higher central derivatives of certain L-functions.
(3) Ways of going beyond endoscopy, and proving new cases of functoriality. This includes Langlands’ original idea of using the stable trace formula to study poles of L-functions ; but also other related proposals that have attracted lot of recent attention, such as the Braverman-Kazhdan approach through non-standard Poisson summation formulas, or new methods to go “beyond endoscopy in a relative sense”, as developed by Sakellaridis.
This conference aims to gather leading experts in this vital area of mathematics (including several researchers from Aix-Marseille University) ; to attain a state-of-the-art overview of the different directions that are being actively pursued ; and to promote collaboration and the exchange of ideas between those approaches.
Le programme de Langlands et la théorie des formes automorphes constituent des sujets fondamentaux de la théorie des nombres moderne. Deux notions centrales dans ce domaine sont le principe de fonctorialité et les fonctions L automorphes. Après plus de quarante ans de développement, et de nombreux et rententissants succès, de larges pans de ce programme restent encore ouverts et conservent tous leurs mystères.
La théorie de l’endoscopie, un cas particulier mais très important de fonctorialité, a concentré beaucoup d’efforts ces trente dernières années. Cela a abouti à de francs succès, parmi lesquels la preuve du Lemme Fondamental par Ngô et la classification dite “endoscopique” des représentations automorphes de certains groupes classiques par Arthur. Aller au-delà de ces réalisations remarquables nécessite de nouvelles techniques et idées ; ces dernières années, des perspectives prometteuses ont commencé à émerger, qui pourraient bien renouveler notre vision du sujet dans son ensemble.
Cela nous amène aux trois principaux thèmes de cette conférence :
(1) Le “programme de Langlands relatif” contitue une extension très attrayante du programme de Langlands classique à certains espaces homogènes (principalement ceux dits “sphériques”). Il porte notamment sur les liens, présumés ou avérés, entre périodes intégrales de formes automorphes et la fonctorialité de Langlands ou les valeurs spéciales de fonctions L. Cela recouvre en particulier les conjectures de Gan-Gross-Prasad et Ichino-Ikeda sur  lesquelles des progrès remarquables ont été obtenus ces dernières années (par Waldspurger, W. Zhang et d’autres). Avec le travail de Sakellaridis et Venkatesh, ce sujet a passé un nouveau cap ; nous disposons maintenant d’une formulation rigoureuse de “fonctorialité relative”, avec des perspectives très prometteuses. Un objet central d’étude pour toutes ces questions est la formule des traces relative de Jacquet, dont la portée et les aspects les plus fins restent encore à explorer.
(2) Relations entre valeurs spéciales de dérivées (de tout ordre) de fonctions L et produits d’intersection de cycles spéciaux sur des variétés de Shimura ou des champs de Shtukas. Cela inclut les versions arithmétiques des conjectures de Gan-Gross-Prasad qui généralisent la célèbre formule de Gross-Zagier. Dans la cadre des corps de fonctions, des résultats récents très saisissant de Yun et Zhang donnent une interprétation géométrique des valeurs centrales de toutes les dérivées de certaines fonctions L.
(3) Perspectives pour aller au-delà de l’endoscopie et établir de nouveaux cas de fonctorialité. Cela inclut l’idée originelle de Langlands d’utiliser la formule des traces stable pour étudier les pôles de fonctions L ; mais aussi d’autres possibilités apparentées telles que l’approche de Braverman-Kazhdan par des formules de sommation de Poisson non-standards ou les nouvelles méthodes développées par Sakellaridis pour aller “au-delà de l’endoscopie”  dans un sens relatif.
Cette conférence vise à rassembler des experts internationaux (incluant des chercheurs de l’université d’Aix-Marseille) dans ce domaine essentiel et très actif des mathématiques ; afin d’établir une vue d’ensemble des différentes directions poursuivies et de promouvoir la collaboration et l’échange d’idées entre ces approches.

Speakers (all confirmed)

J.-P. Chaudouard (IMJ, France)
B. Feigon (CUNY, New-York) (to be confirmed)
W.-T. Gan (National University of Singapore)
J. Gordon (University of British Columbia, Canada)
A. Ichino (Kyoto University, Japan)
T. Kaletha (University of Chicago, USA)
D. Jiang (University of Minnesota, USA)
E. Lapid (Weizmann Institute, Israel)
C. Moeglin (IMJ, France)
Y. Sakellaridis (Rutgers University, France)
F. Shahidi (Purdue University, USA)
S.-W. Shin (University of California, Berkely, USA)
Z. Yun (MIT, USA)
W. Zhang (MIT, USA)

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Eric Lozingot
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