Construction de surfaces complexes de type général simplement connexes dont le ratio de Chern est arbitrairement proche de 3

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Date(s) - 23/11/2015
14 h 00 min - 15 h 00 min

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Les nombres de Chern $c_1^2,c_2$ d’une surface complexe lisse minimale $X$ sont des invariants topologiques qui vérifient l’inégalité de Bogomolov-Miyaoka-Yau $c_1 ^2 \leq 3 c_2$. Une surface satisfait l’égalité $c_1^2=3c_2$ si et seulement si son revêtement universel est le disque unité $\mathbb{B}_2$. En ce cas son groupe fondamental est un sous groupe discret et co-compact de PU(2,1), en particulier une telle surface n’est jamais simplement connexe. A la fin des années 70, Bogomolov demandait si on peut améliorer l’inégalité Bogomolov-Miyaoka-Yau par $c_1^2 \leq ac_2$ avec $a<3$, si on suppose que $X$ est de plus simplement connexe.
Dans cet exposé, nous construisons des surfaces spin X (resp. non-spin) simplement connexes avec $c_1^2/c_2$ arbitrairement proche de 3 ; ainsi la réponse à la question de Bogomolov est elle négative. Paradoxalement, notre construction des surfaces X utilise des surfaces quotients de la boule unité.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec G. Urzua.

[http://www-math.sp2mi.univ-poitiers.fr/~roulleau/]

Olivier CHABROL
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