Dégénérescences de surfaces munies de structures plates

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Date/heure
Date(s) - 20/02/2015
11 h 00 min - 12 h 00 min

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Une structure plate [q] sur une surface S est une métrique localement euclidienne avec des singularités coniques d’angles des multiples entiers supérieurs ou égaux à 3,
telle que l’holonomie de tout lacet fermé disjoint des singularités est Id ou {+/-Id}. Soit C l’ensemble des classes d’homotopie libre de courbes fermées simples non triviales sur S. Si c est un élément de C, il existe au moins une géodésique locale pour [q] dans la classe de c, et on note l([q],c) sa longueur.
On appelle spectre de [q] l’ensemble ordonné (l([q],c)), avec c dans C.
Dans leur article “Length spectra and degeneration of flat metrics”, Duchin-Rafi-Leininger ont montré que l’application qui à une structure plate associe son spectre est un plongement de l’espace des structures plates d’aire 1 sur S dans l’espace projectifié de l’ensemble des ensembles de réels positifs, non tous nuls, ordonnés par C. Comme cet espace projectifié est compact, on va chercher à décrire le bord de
l’adhérence de l’image de l’espace des structures plates d’aire 1 dans cet espace.
L’article susnommé donne une description de ce bord de manière extrinsèque, en passant par des courants géodésiques sur le revêtement universel de S, à la manière de F. Bonahon pour les métriques hyperboliques.
Pour ma thèse, j’aborde la question en étudiant les limites asymptotiques des suites des relevés des structures plates au revêtement universel. Au cours de l’exposé, j’expliquerai comment on peut ainsi comprendre certaines dégénérescences de structures plates.

[http://www.math.u-psud.fr/~morzadec]

Olivier CHABROL
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