Densités d’ensembles définis par la fonction somme des chiffres en base 2

Jordan Emme
I2M, Aix-Marseille Université
/user/jordan.emme/

Date(s) : 19/04/2016   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

On s’intéresse à des densités d’ensembles définis via la fonction somme des chiffres en base deux s₂. Plus précisément, pour chaque entier naturel a et pour chaque entier relatif d, on s’intéresse à la densité de l’ensemble des entiers naturel n tels que s₂(n+a)-s₂(n)=d. On appelle cette densité µₐ(d) et on remarque que µₐ est une mesure de probabilité sur ℤ. Ces ensembles interviennent naturellement en arithmétique, notamment dans les travaux de Bésineau sur les corrélations de certaines fonctions arithmétiques. Ici notre approche est différente et nous faisons d’abord une étude combinatoire des solutions de s₂(n+a)-s₂(n)=d. Nous en donnons une description par des arbres et des automates. Ceci permet d’exprimer µₐ comme produit de matrices. À partir de cette expression nous donnons des propriétés asymptotiques de cette mesure de probabilité lorsque a tend vers l’infini (en un sens plus précis que nous définirons). Par exemple, nous montrons que la norme l² de cette mesure tend vers zéro lorsque a tend vers l’infini. Nous avons par ailleurs des bornes sur la variance de µₐ pour a “assez grand”. Enfin, dans un travail en commun avec Pascal Hubert reprenant ces résultats, nous montrons que µₐ vérifie un théorème central limite.

Densities of sets defined by the sum of digits function in base 2

We are interested in the densities of sets defined via the sum function of the digits in base two s₂. More precisely, for each natural integer a and for each relative integer d, we are interested in the density of the set of natural integers n such that s₂(n+a)-s₂(n)=d. We call this density µₐ (d) and we notice that µₐ is a probability measure on ℤ. These sets occur naturally in arithmetic, in particular in the work of Bésineau on the correlations of certain arithmetic functions. Here our approach is different and we first do a combinatorial study of the solutions of s₂(n+a)-s₂(n)=d. We give a description of it by trees and automata. This makes it possible to express µₐ as a product of matrices. From this expression we give asymptotic properties of this probability measure as a tends to infinity (in a more precise sense that we will define). For example, we show that the norm l² of this measure tends to zero as a tends to infinity. We also have bounds on the variance of µₐ for a “large enough”. Finally, in a joint work with Pascal Hubert taking up these results, we show that µₐ satisfies a central limit theorem.

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~emme/exposes/posters/TCL.pdf

 

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