Densités d’ensembles définis par la fonction somme des chiffres en base 2

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Date(s) - 19/04/2016
11 h 00 min - 12 h 00 min

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On s’intéresse à des densités d’ensembles définis via la fonction somme des chiffres en base deux s₂. Plus précisément, pour chaque entier naturel a et pour chaque entier relatif d, on s’intéresse à la densité de l’ensemble des entiers naturel n tels que s₂(n+a)-s₂(n)=d. On appelle cette densité µₐ(d) et on remarque que µₐ est une mesure de probabilité sur ℤ. Ces ensembles interviennent naturellement en arithmétique, notamment dans les travaux de Bésineau sur les corrélations de certaines fonctions arithmétiques. Ici notre approche est différente et nous faisons d’abord une étude combinatoire des solutions de s₂(n+a)-s₂(n)=d. Nous en donnons une description par des arbres et des automates. Ceci permet d’exprimer µₐ comme produit de matrices. À partir de cette expression nous donnons des propriétés asymptotiques de cette mesure de probabilité lorsque a tend vers l’infini (en un sens plus précis que nous définirons). Par exemple, nous montrons que la norme l² de cette mesure tend vers zéro lorsque a tend vers l’infini. Nous avons par ailleurs des bornes sur la variance de µₐ pour a « assez grand ». Enfin, dans un travail en commun avec Pascal Hubert reprenant ces résultats, nous montrons que µₐ vérifie un théorème central limite.

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