Difféomorphismes partiellement hyperboliques de contact en dimension 3

Martin Mion-Mouton
IRMA, Université de Strasbourg
http://irma.math.unistra.fr/~mionmouton/

Date(s) : 19/03/2021   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

Les systèmes dynamiques différentiables préservent souvent des structures géométriques in-duites par des distributions invariantes d’origine dynamique, et il est naturel de se demander si des hypothèses de régularité sur ces distributions contraignent le système dynamique d’origine.Dans le cas des flots Anosov de contact, des résultats de rigidité allant dans ce sens existent en dimension trois depuis les travaux de Ghys [Ghy87], puis en dimension supérieure grâce à ceux de Benoist-Foulon-Labourie [BFL92]. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la situation analogue pour des systèmes dynamiques à temps discrets, en considérant les difféomorphismes partiellement hyperboliques en dimension trois dont les trois distributions invariantes sont lisseset dont la somme des distributions stable et instable est de contact. Nous verrons que ces difféomorphismes préservent une structure géométrique rigide appelée structure Lagrangienne de contact, dont l’analyse nous permet d’obtenir une classification des difféomorphismes étudiés,sous réserve que tous les points soient non-errants (voir [MM20]).

Références

[BFL92] Yves Benoist, Patrick Foulon, and François Labourie. Flots d’Anosov à distributions stable et instable différentiables. Journal of the American Mathematical Society, 5(1) :33–74, 1992.
[Ghy87] Étienne Ghys. Flots d’Anosov dont les feuilletages stables sont différentiables.
Annales Scientifiques del’École Normale Supérieure. Quatrième Série, 20(2) :251–270, 1987.
[MM20] Martin Mion-Mouton. Partially hyperbolic diffeomorphisms and Lagrangian contact structures, 2020. Preprint arXiv : 2002.10720.

Partially hyperbolic contact diffeomorphisms in dimension 3

Differentiable dynamical systems often preserve geometric structures induced by invariant distributions of dynamic origin, and it is natural to wonder whether regularity assumptions on these distributions constrain the original dynamic system. of contact, results of rigidity going in this direction exist in dimension three since the work of Ghys [Ghy87], then in higher dimension thanks to those of Benoist-Foulon-Labourie [BFL92]. In this talk, we will be interested in the analogous situation for discrete time dynamic systems, by considering partially hyperbolic diffeomorphisms in dimension three whose three invariant distributions are smooth and whose sum of the stable and unstable distributions is contact. We will see that these diffeomorphisms preserve a rigid geometric structure called Lagrangian contact structure, the analysis of which allows us to obtain a classification of the diffeomorphisms studied, provided that all the points are non-wandering (see [MM20]).

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FRUMAM, St Charles

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