Discrétisations d’applications linéaires et applications aux difféomorphismes

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Date/heure
Date(s) - 05/01/2016
11 h 00 min - 12 h 00 min

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Est-il possible de faire tourner plusieurs fois une image numérique sans perdre en qualité ? Dans cet exposé, on étudiera ce problème pour l’algorithme le plus naïf de rotation discrète : la discrétisation. Par définition, l’image du point x par la discrétisation de l’application linéaire A∈Glₙ(ℝ) est le point de ℤⁿ le plus proche de Ax. Cela définit un endomorphisme  de ℤⁿ, en général non injectif ; le défaut d’injectivité – i.e. la perte de qualité de l’image numérique – est mesuré par la densité de l’ensemble Â(ℤⁿ).

Cet exposé sera centré sur le théorème suivant : Lorsque la suite (Aₖ) est générique parmi les suites de matrices de déterminant 1, la densité des ensembles (Âₖ∘Âₖ₋₁∘…∘Â₁)(ℤⁿ) tend vers 0 lorsque k tend vers l’infini. J’essaierai d’expliquer comment ce résultat peut être utilisé pour étudier les discrétisations de C¹-difféomorphisms génériques, et de donner quelques idées de sa preuve, qui utilise le formalisme des quasicristaux.

http://www.math.u-psud.fr/~guiheneu

Olivier CHABROL
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