Fonction zêta dynamique de Ruelle et torsion de Reidemeister-Turaev pour les fibrés unitaires tangents de surfaces

Sur une variété Riemannienne compacte M munie d’un champ de vecteurs et d’une représentation unitaire du groupe fondamental de M, la fonction zêta de Ruelle est définie comme un produit infini sur l’ensemble des orbites périodiques de ce champ de vecteurs, et la conjecture de Fried dit que sa valeur en zéro est un invariant topologique : le module de la torsion de Reidemeister. De nombreux cas de cette conjecture ont été établis au cours des 40 dernières années.

Avec Jan Frahm et Polyxeni Spilioti (Aarhus), on montre que dans le cas d’une représentation quelconque de l’unitaire tangent M d’une surface hyperbolique à singularités, la valeur en zéro de la fonction de Ruelle est un raffinement dû à Turaev de la torsion de Reidemeister, donné par la structure d’Euler induite sur M par le flot géodésique.