Fonctionnelles de clusters d’extrêmes de processus et champs aléatoires.

José Gomez Garcia
MIA-Paris, Agroparitsech
https://gomezgarcia.users.lmno.cnrs.fr/

Date(s) : 16/04/2021   iCal
14 h 00 min - 16 h 00 min

Les fonctionnelles de clusters d’extrêmes ont été introduites et étudiées par Yun (2000) pour les chaînes de Markov d’ordre d. Quelques années plus tard, Segers (2003) et Drees & Rootzén (2010) fournissent des résultats asymptotiques dans le cadre des séries chronologiques stationnaires unidimensionnels et multidimensionnels respectivement. Cependant, ces résultats sont démontrés sous des conditions de dépendance de type mélange, qui sont très restrictives : elles sont particulièrement adaptées aux modèles de la finance, et elles sont très compliquées à manipuler mathématiquement. Généralement, pour d’autres modèles fréquemment rencontrés dans les domaines applicatifs, les conditions de mélange ne sont pas satisfaites. En revanche, les conditions de dépendance faible de Doukhan & Louhichi (1999) et Dedecker & Prieur (2004a) sont plus générales et comprennent une grande liste de modèles. Plus précisément, sous des conditions faibles, tous les processus causaux ou non causaux sont faiblement dépendants : les processus Gaussiens, associés, linéaires, ARCH(\infty), bilinéaires et notamment Volterra entrent dans cette liste. À partir de ces conditions favorables, nous étendons certains de ces résultats des fonctionnnelles de clusters au cadre des processus faiblement dépendants. 

Par ailleurs, comme une grande partie des estimateurs utilisés dans l’analyse statistique d’extrêmes peuvent être écrits en termes de fonctionnelles de clusters, nous utilisons ce fait et les résultats précédents pour fournir des théorèmes limites pour certains estimateurs comme l’estimateur de l’extrémogramme et l’indice extrémal sous de faibles conditions.  

L’exposé se conclura avec des extensions aux champs aléatoires et des applications.

Functional clusters of extreme processes and random fields

Functionals of clusters of extremes were introduced and studied by Yun (2000) for d-order Markov chains. A few years later, Segers (2003) and Drees & Rootzén (2010) provide asymptotic results in the context of one-dimensional and multidimensional stationary time series respectively. However, these results are demonstrated under mixture type dependence conditions, which are very restrictive: they are particularly suitable for models in finance, and they are very complicated to handle mathematically. Generally, for other models frequently encountered in application domains, the mixing conditions are not satisfied. In contrast, the weak dependence conditions of Doukhan & Louhichi (1999) and Dedecker & Prieur (2004a) are more general and include a large list of models. Specifically, under weak conditions, all causal or non-causal processes are weakly dependent: Gaussian, associated, linear, ARCH(\infty), bilinear and notably Volterra processes fall into this list. From these favorable conditions, we extend some of these results from cluster functionals to the framework of weakly dependent processes.

Moreover, since a large part of the estimators used in statistical analysis of extremes can be written in terms of cluster functionals, we use this fact and the previous results to provide limit theorems for some estimators such as the extremogram estimator and the extremal index under weak conditions.

The talk will conclude with extensions to random fields and applications.

https://www.mdpi.com/2227-7390/9/3/212

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