Fractions continues uniformément bornées

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Date(s) - 18/03/2014
11 h 00 min - 12 h 00 min

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La taille des coefficients d’un développement en fraction continue est quelque chose d’important puisqu’elle permet de contrôler à quel point un nombre réel est bien approché par des nombres rationnels. Les fractions continues bornées sont ainsi les réels qui sont mal approchés par des rationnels.
Je parlerai de deux conjectures sur les fractions continues bornées : l’une de McMullen sur les fractions continues périodiques, et l’autre de Zaremba sur les fractions continues finies. Les fractions continues peuvent s’interpréter comme des codages de géodésiques de la surface modulaire (quotient de ℋ₂ par SL(2,ℤ)); les fractions continues périodiques bornées correspondent alors aux géodésiques fermées qui restent dans un compact. Et McMullen propose d’autres interprétations.
Je présenterai deux constructions de fractions continues périodiques uniformément bornées, qui ne suffisent pas à démontrer la conjecture de McMullen, mais dont l’une permet d’améliorer la borne qui existait jusqu’alors et l’autre permet de montrer que la conjecture de Zaremba implique celle de McMullen.
J’expliquerai aussi le lien qu’il y a entre ces conjectures et les exposants critiques de certains monoïdes de SL(2,ℤ).

http://www.i2m.univ-amu.fr/spip.php?page=pageperso“>http://www.i2m.univ-amu.fr/spip.php?page=pagepersoPaul Mercat

Olivier CHABROL
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