Fractions continues uniformément bornées

Paul Mercat
I2M, Aix-Marseille Université
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Date(s) : 18/03/2014   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

La taille des coefficients d’un développement en fraction continue est quelque chose d’important puisqu’elle permet de contrôler à quel point un nombre réel est bien approché par des nombres rationnels. Les fractions continues bornées sont ainsi les réels qui sont mal approchés par des rationnels.
Je parlerai de deux conjectures sur les fractions continues bornées : l’une de McMullen sur les fractions continues périodiques, et l’autre de Zaremba sur les fractions continues finies. Les fractions continues peuvent s’interpréter comme des codages de géodésiques de la surface modulaire (quotient de ℋ₂ par SL(2,ℤ)); les fractions continues périodiques bornées correspondent alors aux géodésiques fermées qui restent dans un compact. Et McMullen propose d’autres interprétations.
Je présenterai deux constructions de fractions continues périodiques uniformément bornées, qui ne suffisent pas à démontrer la conjecture de McMullen, mais dont l’une permet d’améliorer la borne qui existait jusqu’alors et l’autre permet de montrer que la conjecture de Zaremba implique celle de McMullen.
J’expliquerai aussi le lien qu’il y a entre ces conjectures et les exposants critiques de certains monoïdes de SL(2,ℤ).

Uniformly bounded continuous fractions

The size of the coefficients of a continuous fraction expansion is something important since it allows to control how well a real number is approximated by rational numbers. The bounded continuous fractions are thus the real numbers which are poorly approximated by rational numbers.
I will talk about two conjectures on bounded continued fractions: one from McMullen on periodic continued fractions, and the other from Zaremba on finite continued fractions. Continuous fractions can be interpreted as encodings of geodesics of the modular surface (quotient of ℋ₂ by SL (2, ℤ)); the bounded periodic continuous fractions then correspond to the closed geodesics which remain in a compact. And McMullen offers other interpretations.
I will present two constructions of uniformly bounded periodic continued fractions, which are not sufficient to prove the McMullen conjecture, but one of which allows to improve the bound which existed until then and the other allows to show that the Zaremba conjecture involves McMullen’s.
I will also explain the link that there is between these conjectures and the critical exponents of certain monoids of SL (2, ℤ).

https://arxiv.org/abs/1601.08109

 

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