Franck Gabriel
EPFL, Lausanne, Switzerland
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Date(s) : 06/12/2021 - 13/12/2021 iCal
11 h 15 min - 12 h 15 min
Dans l’étude de l’asymptotique des observables sur des familles de matrices aléatoires invariantes par conjugaison par le groupe unitaire, l’indépendance des familles implique la liberté asymptotique des matrices. Cette notion remplace l’indépendance en probabilités non-commutatives. Lorsque les matrices aléatoires considérées obéissent à une symétrie plus faible, plus précisément lorsqu’elles sont simplement invariantes en loi par permutation des lignes et des colonnes, la propriété de liberté asymptotique est généralement perdue et peut être remplacée par la notion de liberté de traffic, ou P-liberté. Dans cet exposé, nous fournirons deux cadres généraux dans lesquels les deux modèles de matrices (invariants par permutations ou par le groupe unitaire) peuvent être étudiés de manière similaire. La famille des dualités de Schur-Weyl permet de définir dans un cadre unifié les notions de cumulants pour les matrices aléatoires (à la fois unitaires et invariantes par permutation). Ces cumulants généralisent les cumulants probabilistes et non-commutatifs et nous permettent de fournir une preuve unifiée de la liberté (non-commutative ou de traffic) dans les deux cas considérés. En utilisant ces nouveaux cumulants, nous expliquerons comment on peut unifier l’étude de la limite des grands processus de Levy invariants par permutation. Cela permet d’obtenir une formule explicite pour la distribution limite des valeurs propres d’une large classe de marches aléatoires à temps continu sur le groupe symétrique. Enfin, nous verrons que les deux modèles sont asymptotiquement libres avec amalgamation sur différents espaces matriciels (ce qui correspond à une sorte de liberté conditionnelle). (Recherche en collaboration avec Au, Cébron, Dahlvquist, Male).
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