Hyperbolicité complexe et quotients de domaines symétriques bornés

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Date(s) - 23/05/2018
14 h 00 min - 16 h 00 min

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Soutenance de thèse

Résumé : Ce travail de thèse porte sur l’étude de l’hyperbolicité complexe de compactifications de quotients de domaines symétriques bornés, et plus spécifiquement, de quotients de la boule. Si l’on se donne une telle compactification, on s’intéresse ainsi à la géométrie des courbes entières qu’elle contient, ainsi qu’au type de ses sous-variétés. On commence par prouver un critère métrique de positivité du fibré cotangent d’une variété complexe quelconque, reposant notamment sur les travaux de J.-P. Demailly et de S. Boucksom. Ce critère peut s’appliquer à une large classe de variétés, dépassant le strict cadre des quotients de domaines symétriques bornés ; dans un travail en commun avec Y. Brunebarbe, on applique ainsi ces méthodes au cas des variétés supportant une variation de structures de Hodge complexe.
Dans le cas d’un quotient de la boule, ces mêmes méthodes métriques permettent de montrer qu’un revêtement ramifié d’une compactification toroïdale lisse, étale sur l’intérieur, et ramifiant à des ordres supérieurs à 7 sur le bord, ne contient que des variétés de type général en dehors de son bord. Dans ce cadre, ceci fournit une version effective d’un théorème de Y. Brunebarbe. On peut aussi appliquer ces techniques à l’étude d’autres situations que ces compactifications lisses : avec E. Rousseau et B. Taji, on donne des critères pour l’hyperbolicité algébrique de ces compactifications, lorsque les quotients sont singuliers. On présente aussi une version effective d’un théorème de J.-P. Demailly, concernant le caractère big des différentielles de jets sur la compactification donnée. Enfin, on montre que les méthodes métriques présentées précédemment s’étendent au cas de tous les domaines symétriques bornés. Nos méthodes permettent par ailleurs de traiter des hyperbolicités algébrique et transcendante de manière unifiée, et peuvent fournir des résultats effectifs similaires au précédent pour d’autres domaines que la boule.

Abstract of the thesis:
This work deals with the study of complex hyperbolicity of compactifications of quotients of bounded symmetric domains, and more specifically, of quotients of the ball. If we are given such a compactification, we are interested in the geometry of the entire curves it contains, as well as to the type of its subvarieties. We start by showing a metric criterion for the positivity of the cotangent bundle of a complex manifold, based in particular on the work of J.-P. Demailly and of S. Boucksom. This criterion can be applied to a large class of varieties, going beyond the frame of quotients of bounded symmetric domains ; in a joint work with Y. Brunebarbe, we apply these particular methods to the case of manifolds supporting a complex variation of Hodge structures.
In the case of a ball quotient, these same methods can be used to show that on a ramified cover of a toroidal compactification, étale on the inside part, and ramifying at orders higher than 7 on the boundary, there is no subvariety which is not of general type, and also not included in the boundary. In this setting, this gives an effective version of a theorem of Y. Brunebarbe. We can also apply these metric methods to the study of other situations than these smooth compactifications : with E. Rousseau and B. Taji, we give metric criterions for the algebraic hyperbolicity of these compactifications, when the quotients have cyclic singularities. In the case of the ball, we present also an effective version of a theorem of J.-P. Demailly, concerning the bigness of the Green-Griffiths jet differentials on the given compactification. Finally, we show that the previously described metric methods can actually be applied in the case of any bounded symmetric domain. Our methods permit to give a unified treatment of the algebraic and transcendental complex hyperbolicity, and can give effective results, similar to the previous ones, for other bounded symmetric domains than the ball.

*Membres du jury :


Sébastien Boucksom, École Polytechnique (Rapporteur)
Benoît Claudon, Université de Rennes I
Simone Diverio, IMJ & Université de Rome
Philippe Eyssidieux, Université Grenoble Alpes (Rapporteur)
Erwan Rousseau, Aix-Marseille Université (Directeur de thèse)
Claire Voisin, Collège de France

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(lien à venir)

Liens :
theses.fr
Fiche de l’ED184

Olivier CHABROL
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