Sary Drappeau
I2M, Aix-Marseille Université
https://www.i2m.univ-amhttps://sary-aurelien-drappeau.pedaweb.univ-amu.fr/documents/hdr.pdf
Date(s) : 28/09/2023 iCal
14 h 00 min - 17 h 30 min
Soutenance HDR Sary DRAPPEAU (groupe GDAC)
Lieu :
Amphi 12 du bâtiment B du campus de Luminy (point 21 sur la carte).
Composition du jury
Valérie BERTHÉ, CNRS, Rapporteure
Valentin BLOMER, Université de Bonn, Rapporteur
Régis DE LA BRETÈCHE, Université Paris Cité
Étienne FOUVRY, Université Paris Sud
Florent JOUVE, Université de Bordeaux
Kaisa MATOMÄKI, Université de Turku Rapporteure
Philippe MICHEL, École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Joël RIVAT, Université d’Aix-Marseille
Emmanuel ROYER, Université Clermont-Auvergne et CNRS
Résumé
Ce mémoire présente les thèmes sur lesquels ont porté mes travaux de recherche depuis mon arrivée à l’université d’Aix-Marseille en 2015. Leur problématique commune est de mettre en évidence des comportements statistiques réguliers dans des familles d’objets arithmétiques naturels : les fonctions multiplicatives ou additives, et les valeurs centrales de certaines familles de fonctions L.
La première partie concerne une question centrale en théorie multiplicative des nombres : celle d’estimer la corrélation des valeurs f (n) et g(n + 1), où f et g sont deux fonctions multiplicatives, notamment lorsque l’une des deux fonctions est la fonction « nombre de diviseurs ». Ce problème est naturellement lié à la répartition de certaines suites dans les progressions arithmétiques, et trouvent des applications à d’autres questions arithmétiques, par exemple les zéros de petite hauteur des fonctions L de Dirichlet. Les majorations de sommes d’exponentielles algébriques sont un outil crucial dans cette partie du mémoire.
La seconde partie concerne certaines fonctions f : Q → C nommées par Zagier « formes modulaires quantiques », caractérisées par certaines symétries analogues à celles des formes modulaires. Mes collaborations sur ce sujet ont consisté d’une part à établir ces relations de modularité quantiques dans certains cas : celui de tordues additives de fonctions L de Dirichlet, et celui de sommes de symboles de Pochhammer ; et d’autre part à les utiliser pour en déduire, par des méthodes de systèmes dynamiques, l’existence de lois limites pour les valeurs de f aux nombres rationnels ordonnés par dénominateurs croissants.
Mots clés : Fonctions multiplicatives, nombres premiers, progressions arithmétiques, sommes de Kloosterman, formes modulaires, formule de Kuznetsov, tordue additive, forme modulaire quantique, loi limite, invariant de Kashaev.
Statistical independence and limit laws for some arithmetic objects
Abstract: This manuscript presents the themes of my research works in Aix-Marseille university since 2015. Their common theme is the search for simple statistical behaviour among families of natural arithmetical objects: multiplicative or additive functions, functions defined in terms of numeration systems (decimal, continued fractions…) and central values of L-functions.
The first part concerns a key question in multiplicative number theory: to estimate the correlation of values of f (n) and g(n + 1), where f and g are two multiplicative functions, with an emphasis on the case of the divisor function. This naturally involves bounds on algebraic exponential sums, and leads to applications in various problems, all linked in some way to the distribution of certain sequences in arithmetic progressions.
The second part concerns maps f : Q → C called by Zagier “quantum modular forms”, which satisfy certain symetries analogous to those satisfied by modular forms. In several collaborations, we established the modular quantum behaviour in some cases related to additive twists of central L values, or to Pochhammer symbols, and we deduced through methods from dynamical systems the existence of limit laws for values of f along rationals ordered by denominators.
Keywords: multiplicative functions, prime numbers, arithmetic progressions, Kloosterman sums, modular form, Kuznetsov formula, additive twist, quantum modular form, limit law, Kashaev invariant.
Emplacement
Campus de Luminy, Marseille
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