Eléments sur la transformée de Berezin et sur les opérateurs de Toeplitz dans des espaces de fonctions polyanalytiques

Les fonctions polyanalytiques entières généralisent les fonctions entières dans la mesure où elles sont les solutions sur le plan complexe $mathbb{C}$ de l’équation de Cauchy-Riemann à l’ordre $n$, de la forme ${partial}^n f / partial overline{z}^n = 0$. Un espace de Fock polyanalytique  $F^2_{alpha,n}$ est, par analogie avec le cas classique,  le sous-espace fermé de l’espace de Hilbert $L^2(mathbb{C},dmu_alpha)$, où $mu_alpha$ est une mesure de  probabilité gaussienne sur $mathbb{C}$ de paramètre $alpha>0$, formé des fonctions polyanalytiques entières d’ordre $n$.

L’objet de cette thèse est l’étude d’éléments classiques de la théorie des opérateurs tels que la transformée de Berezin et les opérateurs de Toeplitz dans le cadre particulier des espaces de Fock polyanalytiques. Dans ce manuscrit, il est montré en particulier que les points fixes de la transformée de Berezin qui appartiennent aux espaces de Lebesgue sont les fonctions nulles ou éventuellement constantes. Concernant les opérateurs de Toeplitz, le problème de Sarason est étudié. Etant donnée une fonction $f$, l’opérateur de Toeplitz de symbole $f$ est formellement défini par  $T^{alpha,n}_f(h)=P_{alpha,n}(f h)$, où $P_{alpha,n}$ est la projection  orthogonale de $L^2(mathbb{C},dmu_{alpha})$ sur $F^2_{alpha,n}$. Le problème de Sarason consiste à donner une condition nécessaire et suffisante sur $f$ et $g$ pour que le produit d’opérateurs de symboles $f$ et $bar g$ soit continu.

—– English version ——————————————————————————–

Part of the Berezin transform and Toeplitz operator study in polyanalytic function spaces

Entire polyanalytic functions generalize entire functions in that they are solutions of « Cauchy-Riemann equations of order $n$ », of the form ${partial}^n f / partial overline{z}^n = 0$, over the whole complex plane $mathbb{C}$.  Polyanalytic Fock space $F^2_{alpha,n}$ is, by analogy with the classical case,  the closed subspace of the Hilbert space $L^2(mathbb{C},dmu_alpha)$, where $mu_alpha$ is a Gaussian probability measure over $mathbb{C}$ with weight $alpha>0$, of polyentire functions of order $n$.

The aim of this PhD thesis is the study of classical objects of operator theory such that the Berezin transform and Toeplitz operators in the particular case of polyanalytic Fock spaces. In this written, it is shown among other results, that the $L^p$ fixed points of the Berezin transform are constant functions. Concerning Toeplitz operators, the Sarason problem is studied. Given a function $f$, the Toeplitz operator with symbol $f$ is formally defined by $T^n_f(h)=P_{F^2_n}(f h)$, where $P_{F^2_n}$ is the orthogonal projection from $L^2(mathbb{C},dmu)$ onto $F^2_n$. The so-called  Sarason’s problem consists in finding necessary and sufficient conditions on the symbols $f$ and $g$ for the Toeplitz product with symbols $f$ and $bar g$ to be bounded in the Fock space.

Karim KELLAY, Université de Bordeaux (Rapporteur)
Emmanuel MAZZILLI, Université Lille 1 (Rapporteur)
Alexander BORICHEV, Université d’Aix-Marseille (Examinateur)
Miroslav ENGLIS, Université de Prague (Examinateur)
Emmanuel FRICAIN, Université Lille 1 (Examinateur)
Elisabeth STROUSE, Université de Bordeaux (Examinateur)
Stéphane RIGAT, Université d’Aix-Marseille (Directeur de thèse)
El-Hassan YOUSSFI, Université d’Aix-Marseille (Directeur de thèse)