Anatole Gaudin
I2M, Aix Marseille université
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Date(s) : 03/03/2023 iCal
14 h 30 min - 16 h 00 min
La décomposition de Hodge est un outil important de la géométrie différentielle qui permet de relier certaines propriétés topologiques de variétés lisse avec des propriétés algébrique sur les formes différentielles via des techniques issues de l’analyse. Cela revient généralement à l’étude des formes exactes et fermées, co-exactes et co-fermées, et harmoniques (dont le Laplacien est nul) sur la variété. Si $M$ est une variété lisse compacte sans bords on peut généralement montrer les décompositions topologiques
$$\mathrm{L}^2(M,\Lambda)=\mathrm{Im}(\mathrm{d})\oplus \mathrm{Ker}(\mathrm{d}^\ast) =\mathrm{Im}(\mathrm{d})\oplus \mathrm{Im}(\mathrm{d}^\ast) \oplus[\mathrm{Ker}(\mathrm{d})\cap \mathrm{Ker}(\mathrm{d}^\ast)].$$
L’étude de la décomposition de Hodge introduit en particulier un projecteur qui se retrouve être utile dans le cadre de la mécanique des fluides, puisque la compression d’incompressibilité, par exemple des équations de Navier-Stokes, $\mathrm{div}\,u=0$, pour un vecteur $u$ revient à dire que $u$ est une 1-forme co-fermée. La projection orthogonale (sur $\mathrm{L}^2$)sur les formes co-fermées est appelée Projection de Leray et permet de ramener l’étude des Equations de Navier-stokes à une « simple équation différentielle abstraite » sans le terme de pression.
La présentation portera sur le cas de l’espace euclidien entier $\mathbb{R}^n$, pour les champs de vecteurs (identifiés aux $1$-formes). On établira l’existence du Projecteur de Leray et on lui donnera une formule totalement explicite grâce à l’Analyse de Fourier. On « prouvera » également la décomposition de Hodge
$$\mathrm{L}^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{C}^n)=\mathrm{L}^2_{\sigma}(\mathbb{R}^n,\mathbb{C}^n)\oplus \overline{\nabla (\mathcal{S}(\mathbb{R^n}))},$$
où, ici, $\mathrm{L}^2_{\sigma}(\mathbb{R}^n,\mathbb{C}^n)$ désigne les champs de vecteurs à coefficients $\mathrm{L}^2$ à divergence nulle aux sens des distributions (le ‘Noyau de la divergence’ sur $\mathrm{L}^2$ en un sens généralisé si l’on peut dire). Si on a un peu de temps, on discutera d’éventuelles extensions dans le cadre euclidien $\mathrm{L}^p$ avc $p\neq2$, $\Omega$ un ouvert à bord au lieu de $\mathbb{R}^n$, etc.
Emplacement
FRUMAM, St Charles (2ème étage)
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