Sur les flots d’Anosov en dimension 3 et chirurgies de Dehn

Mario Shannon
IMB, Dijon
https://www.researchgate.net/scientific-contributions/Mario-Shannon-2120105931

Date(s) : 06/03/2020   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

Cet exposé porte sur les chirurgies de Dehn et les structures différentielles associées aux flots d’Anosov transitifs en dimension trois. Les flots d’Anosov constituent une classe très importante des systèmes dynamiques, par leurs propriétés chaotiques persistantes par perturbations, autant que par leur riche interaction avec la topologie de la variété ambiante. Bien que beaucoup soient connus sur le comportement dynamique et ergodique de ces flots, il n’y a pas une compréhension assez claire sur la classification de ses différentes classes d’équivalence orbitale. Jusqu’à ce moment, les plus grands progrès ont été fait en dimension trois, où il y une famille de techniques pour la construction d’exemples de flot d’Anosov connue comme chirurgies. Pendant la réalisation de la thèse, dans un premier temps nous nous sommes intéressés à une chirurgie en particulier, connue comme la chirurgie de Goodman. Cette procédure consiste à choisir une orbite périodique du flot et réaliser une chirurgie de Dehn autour de cette orbite, adaptée au flot d’une façon telle qu’on obtient une nouvelle variété munie d’un flot d’Anosov. La problématique que soulève cette technique est que, pour la réalisation de la chirurgie, un des paramètres à choisir est une surface plongée dans la 3-variété et un difféomorphisme défini sur elle. De ce fait, l’espace de paramètres est, a priori, de dimension infinie et, pourtant, ce n’est pas facile d’avoir un contrôle sur la classe d’équivalence du flot obtenu par cette méthode. Il existe une deuxième procédure, qui peut-être interprétée comme une version infinitésimale de celle qui précède, connue comme la chirurgie de Fried. Celle-ci consiste à éclater l’orbite périodique, obtenant de ce fait un flot défini sur une variété à bord, puis collapser cette composante de bord d’une façon non-triviale et produire un nouveau flot. Cette chirurgie produit des flots univoquement définis, mais ceux-ci ne sont pas munis d’une structure hyperbolique naturelle. Ils sont, par construction, flots topologiquement d’Anosov.Notre contribution consiste à montrer que, si on assume de plus que les flots sont transitifs, alors une chirurgie de Goodman et une chirurgie de Fried autour de la même orbite périodique produisent des flots équivalents, à égal élection de paramètres entiers. Dans un second temps nous avons travaillé sur une question un peu plus abstraite, mais qui est naturellement liée à certaines procédures techniques dans la construction de flots hyperboliques. C’est le problème de savoir si tout flot dit topologiquement d’Anosov (i.e. expansif et qui satisfait la propriété de shadowing de Bowen correspond à un flot hyperbolique différentiable, à équivalence orbitale près. Dans le cas particulier où le flot est transitif, il est connu depuis très longtemps qu’il peut être muni d’une structure non-uniformément hyperbolique définie dans le complémentaire d’un ensemble fini d’orbites périodiques. La plus grande difficulté est de construire des modèles (globalement) hyperboliques associés au flot original. Dans ce contexte, notre contribution consiste à montrer que tout flot topologiquement d’Anosov et transitif, défini dans une variété de dimension trois, est orbitalement équivalent à un flot d’Anosov lisse.

Dehn surgeries and smooth structures on 3-dimensional transitive Anosov flows

This talk is about Dehn surgeries and smooth structures associated with transitive Anosov flows in dimension three. Anosov flows constitute a very important class of dynamical systems, because of its persistent chaotic behaviour, as well as for its rich interaction with the topology of the ambient space. Even if a lot is known about the dynamical and ergodic properties of these systems, there is not a clear understanding about how to classify its different orbital equivalence classes. Until now, the biggest progress has been done in dimension three, where there is a family of techniques intended for the construction of Anosov flows called surgeries. During the realization of the thesis, in a first time we have been interested in a particular surgery method, known as the Goodman surgery. This method consists in make a Dehn surgery on a chosen periodic orbit, but adapted to the flow, in such a way to obtain a new manifold equipped with an Anosov flow. For making this surgery, one of the parameters that has to be chosen is an embedded surface in the 3-manifold and a diffeomorphism defined on it. Thus, the parameter space is, a priori, of infinite dimension and it is not easy to have control on the orbital equivalence class of the obtained flow. There exists a second method, that can be interpreted as an infinitesimal version of the previous one, known as the Fried surgery. It consists in making a blow-up of the flow along the periodic orbit, obtaining in this way a flow in a manifold with boundary, for then blowing-down the boundary component in a non-trivial way and produce a new flow. This surgery produces flows defined in a unique way, but they are not equipped with a natural uniformly hyperbolic structure. They are, by construction, topological Anosov flows.Our contribution is to show that, if we assume that the flow is transitive, then a Goodman surgery or a Fried surgery performed on a periodic orbit produce orbitally equivalent flows, for the same choice of integer parameters.In a second time, we have been interested for a more abstract question, but which is also related to some technical issues in the construction of hyperbolic flows. It is the problem of determining if every topologically Anosov flow (i.e. expansive and satisfying the Bowen shadowing property) correspond to a smooth hyperbolic flow, up to orbital equivalence. In the particular case that the flow is transitive, it has been known that there exists a non-uniformly hyperbolic structure defined in the complement of a finite set of periodic orbits. The main difficulty is the construction of (global) hyperbolic models associated to the original flow.In this setting, our contribution is to show that every transitive topologically Anosov flow on a closed manifold is orbital equivalent to a smooth Anosov flow.

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Emplacement
FRUMAM, St Charles (2ème étage)

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