Méthodes cohomologiques pour les formes modulaires de Bianchi

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Date(s) - 02/04/2015
11 h 00 min - 12 h 00 min

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La correspondance de Taniyama et Shimura étant démontrée pour le corps des rationnels, la modularité est de nos jours fortement recherchée sur les corps quadratiques imaginaires. Au côté des formes automorphes, il s’agit de formes modulaires de Bianchi. Leurs espaces peuvent être calculés via la cohomologie des groupes de Bianchi. Pour pouvoir effectuer ceci, l’orateur a trouvé une réponse à une question de Jean-Pierre Serre qui avait été ouverte pour quarante ans.
D’ailleurs, cet exposé présentera une nouvelle technique développée par l’orateur pour déterminer la torsion dans la cohomologie des groupes, appelée la Réduction des Sous-complexes de Torsion (RST). La RST n’est pas seulement utile pour les groupes de Bianchi, où elle a donné des formules pour la cohomologie de Farrell en termes de quantités élémentaires de la théorie des nombres, mais plus généralement pour les groupes linéaires sur les entiers dans les corps des nombres ou corps de fonctions, où des résultats ont été établis récemment.
Par sa construction, la RST s’applique à des groupes avec une belle action sur un complexe cellulaire, ce qui a été exploité par exemple pour les groupes de Coxeter tétraédraux. À part d’analyser la torsion dans la cohomologie de groupes, la RST est par ailleurs utile pour calculer la K-homologie équivariante figurant dans la conjecture de Baum et Connes, et pour des calculs de cohomologie d’orbi-espaces de Chen et Ruan.

[http://www.maths.nuigalway.ie/~rahm/]

Olivier CHABROL
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