Positivité de fibrés vectoriels et hyperbolicités intermédiaires

Antoine Etesse
I2M, Aix-Marseille Université
http://www.theses.fr/s214549

Date(s) : 04/06/2021   iCal
14 h 00 min - 16 h 00 min

SOUTENANCE DE THÈSE

Thèse en préparation à Aix-Marseille, dans le cadre de l’ED Mathématiques et informatique de Marseille (184), en partenariat avec l’Institut de Mathématiques de Marseille (équipe de recherche AGT) depuis le 14-11-2018.

Composition du jury :
Damian BROTBEK
Jörg WINKELMAN
Lionel DARONDEAU
Ekaterina AMERIK
Xavier ROULLEAU
Simone DIVERIO
Erwan ROUSSEAU
Université de Lorraine
Ruhr Universität Bochum
Université de Montpellier
Université de Paris-Sud
Université d’Aix-Marseille
Université de Rome La Sapienza
Université d’Aix-Marseille
Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Examinatrice
Examinateur
Examinateur
Directeur de thèse

 

Résumé: Dans cette thèse, nous commençons par étudier une variante de la conjecture de Debarre sur l’amplitude du fibré cotangent d’intersections complètes dans un espace projectif. La conjecture originale, prouvée indépendamment par Xie et Brotbek-Darondeau, affirme que, dans l’espace projectif \(\P^{N}\), toute intersection complète de plus de \(\frac{N}{2}\) hypersurfaces générales de degrés suffisamment grands a son fibré cotangent \(\Omega_{X}\) ample. Nous étudions plus généralement le cas de l’amplitude de puissances de Schur \(S^{\lambda}\) du fibré cotangent, où \(\lambda\) est une partition quelconque, et obtenons le résultat suivant: dans l’espace projectif \(\P^{N}\), toute intersection complète de plus de \(\frac{N}{k+1}\) hypersurfaces générales de degrés suffisamment grands a la \(\lambda\)ème puissance de Schur de son fibré cotangent \(S^{\lambda}\Omega_{X}\) ample pour \(\lambda\) une partition de profondeur \(k\).

II est bien connu que des variétés projectives dont l’algébre extérieure possède une certaine amplitude, comme les intersections complètes générales précédentes, satisfont également des propriétés d’hyperbolicité. Nous rappelons alors les définitions d’hyperbolicités intermédiaires analytiques, ainsi que quelques grandes conjectures reliant ces notions (transcendantes) aux variétés projectives de type général. Ces conjectures prédisent notamment des propriétés de finitude fortes pour les variétés projectives satisfaisant une condition d’hyperbolicité analytique intermédiaire. En particulier, leur groupe d’automorphismes doit être fini. Le deuxième résultat de cette thèse consiste en la preuve de ce fait sous une hypothèse quasi-optimale.

Dans une troisième et dernière partie, qui est un travail joint avec Erwan Rousseau et Ariyan Javanpeykar, nous introduisons un analogue algébrique des hyperbolicités intermédiaires analytiques précédentes, généralisant la définition classique d’hyperbolicité algébrique au sens de Demailly. Nous étudions alors, comme précédemment, les propriétés de finitude des variétés algébriquement hyperboliques. Nous montrons en particulier que pour toute variété projective \(X\) satisfaisant une propriété d’hyperbolicité algébrique intermédiaire, et pour toute variété projective \(Y\), les morphismes surjectifs de \(Y\) dans \(X\) sont en nombre fini: c’est le troisième et dernier résultat de cette thèse.

Positivity of vector bundles and intermediate hyperbolicities

In this thesis, we start by studying a variant of Debarre’s conjecture on the amplitude of the cotangent bundle of complete intersections in a projective space. The original conjecture, independently proved by Xie and Brotbek-Darondeau, asserts that in projective space \ (\ P ^ {N} \), any complete intersection greater than \ (\ frac {N} {2} \) general hypersurfaces of sufficiently large degrees to its ample cotangent \ (\ Omega_ {X} \) bundle. We study more generally the case of the amplitude of Schur powers \ (S ^ {\ lambda} \) of the cotangent bundle, where \ (\ lambda \) is any partition, and obtain the following result: in space projective \ (\ P ^ {N} \), any complete intersection of more than \ (\ frac {N} {k + 1} \) general hypersurfaces of sufficiently large degrees to the \ (\ lambda \) th power of Schur of its cotangent bundle \ (S ^ {\ lambda} \ Omega_ {X} \) ample for \ (\ lambda \) a partition of depth \ (k \).

It is well known that projective manifolds whose outer algebra has a certain amplitude, like the preceding general complete intersections, also satisfy properties of hyperbolicity. We then recall the definitions of analytical intermediate hyperbolicities, as well as some large conjectures relating these (transcendent) notions to projective varieties of general type. These conjectures notably predict strong finiteness properties for projective manifolds satisfying an intermediate analytical hyperbolicity condition. In particular, their group of automorphisms must be finite. The second result of this thesis consists in the proof of this fact under a quasi-optimal hypothesis.

In a third and last part, which is a joint work with Erwan Rousseau and Ariyan Javanpeykar, we introduce an algebraic analogue of the preceding analytical intermediate hyperbolicities, generalizing the classical definition of algebraic hyperbolicity in the sense of Demailly. We then study, as before, the finitude properties of algebraically hyperbolic manifolds. We show in particular that for any projective manifold \ (X \) satisfying an intermediate algebraic hyperbolicity property, and for any projective manifold \ (Y \), the surjective morphisms from \ (Y \) into \ (X \) are in finite number: this is the third and last result of this thesis.

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