Processus de contact sur des graphes aléatoires

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Date/heure
Date(s) - 01/06/2016
13 h 30 min - 15 h 30 min

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Soutenance de thèse


Le processus de contact est l’un des systèmes de particules en interaction les plus étudiés.
Il peut s’interpréter comme un modèle pour la propagation d’un virus dans une population ou sur un réseau.
L’objectif de cette thèse est d’étudier la relation entre la structure locale du réseau et le comportement global du processus sur le réseau tout entier.
Le cadre typique dans lequel on se place est celui d’une suite de graphes aléatoires $(G_n)$ convergeant localement vers un graphe limite $G$.
On étudie alors le comportement asymptotique du temps d’extinction $\tau_n$ du processus sur $G_n$; lorsqu’initialement tous les individus sont infectés.
Nous montrons sur plusieurs exemples qu’il existe une transition de phase lorsque $\lambda$ – le taux d’infection du processus – traverse une valeur critique $ \lambda_c (G)$, qui ne dépend que de $G$.
Plus précisément, pour certains modèles de graphes aléatoires comme le modèle de configuration, le graphe à attachement préférentiel, le graphe géométrique aléatoire, le graphe inhomogène, nous montrons que $ \tau_n $ est d’ordre soit logarithmique soit exponentiel; selon que $ \lambda$ est soit inférieur ou supérieur à $\lambda_c (G) $.
De plus, dans certains cas, nous montrons des résultats de métastabilité : en régime sur-critique, $ \tau_n $ divisé par son espérance converge en loi vers une variable aléatoire exponentielle de moyenne 1, et la densité des sites infectés reste stable (et non nulle) sur une période de temps d’ordre typiquement $\tau_n$.​

*Membres du jury :


– Rapporteur : Marc LELARGE
– Rapporteur : Thomas MOUNTFORD
– Examinateur : Etienne PARDOUX
– Examinateur : Arvind SINGH
– Examinateur : Daniel VALESIN
– Directeur de thèse: Bruno SCHAPIRA.

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Lien : theses.fr

Olivier CHABROL
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