Quelle coïncidence ! Sur le Théorème de coïncidence de Lefschetz.

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Date(s) - 18/12/2017
15 h 30 min - 16 h 30 min

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L’ensemble de coïncidence de deux applications $f$ et $g$ entre variétés lisses ou non $M$ et $N$, est défini comme l’ensemble des points $x \in M$ tels que $f(x)=g(x)$. Dans le cas de variétés lisses compactes orientées $M$ et $N$ de même dimension, on peut définir un indice de coïncidence en chacun des points de coïncidence (supposés isolés). Le théorème de coïncidence de Lefschetz dit que la somme de ces indices est égale à la somme alternée des traces de matrices définies par les applications $f$ et $g$. Le théorème classique des points fixes de Lefschetz est juste le cas $M=N$ et $g$ est l’identité. M. Goresky et R. MacPherson ont étendu le théorème des points fixes de Lefschetz dans le contexte de variétés singulières et utilisant l’homologie d’intersection, ceci avec des hypothèses convenables sur les espaces et applications considérés. Dans cet exposé, je vais rappeler les principaux résultats concernant le théorème de coïncidence dans le cas lisse. Dans le cas singulier, je vais rappeler la situation du résultat de Goresky-MacPherson. Cela nous amène au théorème de coïncidence dans le cas singulier, pour lequel je fournirai divers exemples afin d’illustrer le résultat.

Il s’agit d’un travail commun avec Tatsuo Suwa (Hokkaido) d’une part, et avec Alice Libardi, Eliris Rizziolli (UNESP, Rio Claro) et Marcelo Saia (USP, São Carlos) d’autre part.

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Olivier CHABROL
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