Reconstruction homologique des représentations quantiques

Les homologies tordues d’espaces de configurations d’une surface S sont (plus ou moins naturellement) munies d’une action du groupe modulaire Mod(S). Dans le cas où S est un disque à pointes, la construction est due à Lawrence, et Bigelow a utilisé l’intersection homologique pour obtenir la fidélité de la représentation et donc la linéarité des groupes de tresses. Nous avons ajouté une action du groupe quantique sl2 à ces modules homologiques et ainsi démontré que ces représentations retrouvaient des représentations quantiques provenant d’une TQFT (non semi-simple) qui produit–elle–également des invariants de nœuds, de 3 variétés, de Mod(S) pour tout S… Peut-on utiliser ces homologies pour donner une saveur topologique qui fait parfois défaut à tous ces invariants dit quantiques? En effet, ces TQFTs sont construites à partir d’outils algébriques et leur contenu topologique est le sujet de beaucoup de conjectures.

Une partie de ce travail est commune avec M. De Renzi : la présentation sera, cette fois, axée sur la construction homologique, et montrera qu’ainsi nous reconstruisons effectivement des représentations quantiques de Mod(S) en tout genre.