Réversibilité dynamique pour le modèle d’Ising en une dimension avec interaction de Kac sur l’anneau

Riccardo Mariani
I2M, Aix-Marseille Université
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Date(s) : 12/12/2018   iCal
14 h 00 min - 16 h 00 min

Soutenance de thèse

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Réversibilité dynamique pour le modèle d’Ising en une dimension avec interaction de Kac sur l’anneau
Dans cette thèse, nous présentons des approches théoriques et numériques pour deux dynamiques irréversibles et parallèles sur des modèles de mécanique statistique. Dans le premier chapitre, nous présentons les résultats théoriques sur un système de particules induite par une chaîne de Markov irréversible, à savoir le “Totally Asymmetric Simple Exclusion Process” (TASEP). Permettant des multiples retournements de spin à chaque iteration, nous définissons un modèle avec une dynamique parallèle appartenant à la famille des Automates Cellulaires Probabilistes (PCA) et nous dérivons sa mesure stationnaire. Dans ce cadre, nous traitons le problème du blocage, i.e. comprendre les effets d’une perturbation localisée dans le taux de transition des particules sur des systèmes irréversibles. Nous trouvons une expression exacte du courant par rapport à l’intensité du blocage ε dans le régime déterministe de la dynamique.
Dans le deuxième chapitre, nous présentons une version unidimensionnelle du modèle d’Ising avec potentiel de Kac. Encore une fois, nous définissons une dynamique PCA avec une interaction asymétrique entre particules et nous trouvons sa mesure stationnaire avec condition aux limites périodique. Ensuite, nous prouvons la convergence, dans la limite thermodynamique, de cette mesure stationnaire vers la mesure de Gibbs pour toutes les températures supérieures à la température critique via les estimations de Föllmer et le théorème d’unicité de Dobrushin.
Dans la seconde partie de la thèse, nous étudions ces deux dynamiques à travers des expériences numériques. Dans le cas du TASEP, nous exploitons une unité de processeurs graphiques (GPU) enécrivant un code parallèle dans CUDA pour identifier une estimation raisonnable du temps de mélange et renforcer la conjecture qu’à la fois dans la version, la règle de mise à jour série ou parallèle, le courant peut ne pas être analytique dans l’intensité du blocage autour de la valeur ε = 0. Dans le cas du modèle de Kac-Ising, nous établissons des statistiques pour calculer le temps de mélange moyen de la dynamique en série par rapport à l’inverse de la température β et la longueur de l’interaction γ−1. En exécutant un programme autodéveloppé sur 64 processeurs en parallèle, nous avons obtenu les temps de coalescence pour 20000 d’échantillons de trajectoires pour un volume de 5000 sites. Les résultats montrent que, dans la dynamique irréversible lors de l’augmentation de γ−1 et β l’obtention de l’équilibre est plus rapide que celle de la dynamique réversible. Un fait qui ouvre de nouvelles perspectives de recherches théoriques et motive l’étude d’approches comme le parallélisme et l’irréversibilité pour les régimes de basses températures.
Les travaux concernant le modèle PCA-TASEP ont déjà donné lieu à une publication :
B. Scoppola, C. Lancia, and R. Mariani, On the blockage problem and the non- analyticity of the current for parallel tasep on a ring, Journal of Statistical Physics, 161 (2015), pp. 843–858.

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Irreversible Parallel Dynamics in Statistical Mechanics
In this thesis we present theoretical and numerical approaches for two ir- reversible and parallel dynamics on one-dimensional statistical mechanics models. In the first chapter we present theoretical results on a particles system driven by an irreversible Markov chain namely the Totally Asym- metric Simple Exclusion Process (TASEP). Allowing multiples spin-flips in each time-step we define a model with a parallel dynamics that belongs to the family of the Probabilistic Cellular Automata (PCA) and we derive its stationary measure. In this framework we deal with the blockage problem, i.e. to understand the effects of a localized perturbation in the transition rates of the particles on irreversible systems. We find an exact expression of the current with respect to the blockage intensity ε in the deterministic regime of the dynamics.
In the second chapter we present a one-dimensional version of the Ising model with Kac potential. Again we define a PCA dynamics with asymmetric interaction between particles and we find its stationary measure for periodic boundary condition. Then we prove the convergence, in the thermodynamic limit, of such stationary measure to the Gibbs measure for all temperatures above the critical one via F ̈ollmer estimates and Dobrushin’s Uniqueness Theorem.
In the second part of the thesis, we investigate these two dynamics through numerical experiments. In the case of the TASEP we exploit general purpose Graphical Processors Unit (GPGPU) writing a parallel code in CUDA to identify a reasonable mixing time and reinforce the conjecture that in both version, serial or parallel update rule, the current may be non-analytic in the blockage intensity around the value ε = 0. In the case of the Kac-Ising model we perform statistics to compute the average mixing time for serial dynamics with respect to the temperature β and the interaction length γ−1. Running a self-developed program on 64 processors in parallel we obtained the coalescence times for 20000 samples of trajectories for volume of size 5000. The results show that increasing γ−1 and β the irreversible dynamics reaches its equilibrium quicker than the reversible one. A fact that opens new insights of theoretical researches and motivates the study of approaches like parallelism and irreversibility for low temperatures regimes.
The work regarding the PCA-TASEP model has already given a publication: B. Scoppola, C. Lancia, and R. Mariani, On the blockage problem and the non- analyticity of the current for parallel tasep on a ring, Journal of Statistical Physics, 161 (2015), pp. 843–858.
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Liens :
– theses.fr
– Fiche de l’ED184

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