Rigidité spectrale des billards hyperboliques – Martin Leguil

Martin Leguil
LMO, Université Paris-Sud, Orsay
https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~leguil/

Date(s) : 30/10/2020   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

Dans un projet avec P. Bálint, J. De Simoi, et V. Kaloshin, nous avons étudié le problème inverse pour une classe de billards dispersifs ouverts satisfaisant une condition de non-éclipse. La dynamique de ces billards est de type Axiom A et peut être codée symboliquement de manière naturelle, ce qui permet de définir un spectre marqué des longueurs (longueurs des orbites périodiques + codage). Nous montrons que ce spectre dynamique permet de reconstruire beaucoup d’information sur la géométrie de la table de billard ; en particulier, dans le cas où le bord est analytique, et lorsque la table possède certaines symétries, nous montrons que de manière générique, il est possible déterminer la géométrie du billard à partir de son spectre marqué des longueurs.

Récemment, en collaboration avec A. Florio, nous avons poursuivi cette étude dans le cas de billards hyperboliques dont le bord est seulement C^k. Nous montrons que ces billards sont spectralement rigides, au sens où deux billards isospectraux ont la même géométrie aux points de la table provenant de l’ensemble de Cantor des trajectoires piégées. En particulier, cela implique la rigidité spectrale des billards de ce type dont le bord est (quasi-)analytique. Ce résultat de rigidité spectrale découle d’un résultat dynamique plus général sur les classes de conjugaison lisse de flots de contact de type Axiom A en dimension trois, qui généralise un résultat précédent (dans le cas Anosov) de J. Feldman et D. Ornstein. Les méthodes que nous employons sont inspirées en partie par le travail de J.-P. Otal sur la rigidité spectrale pour les flots géodésiques des surfaces de courbure négative.

Emplacement
FRUMAM, St Charles

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